Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1310 / 330
↖ ↑ ↗
← N 76.434604°
E 50.273437°		 ← 4 584.61 m → N 76.434604°
E 50.449219°		 →
↑
4 591.45 m
↓
↑
4 591.45 m
↓
N 76.393312°
E 50.273437°		 ← 4 598.30 m →
21 081 438 m²		 N 76.393312°
E 50.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639892578125 y=0.161376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639892578125 × 211)
    floor (0.639892578125 × 2048)
    floor (1310.5)     		tx = 1310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161376953125 × 211)
    floor (0.161376953125 × 2048)
    floor (330.5)     		ty = 330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1310 / 330 ti = "11/1310/330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1310/330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1310 ÷ 211
    1310 ÷ 2048     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 330 ÷ 211
    330 ÷ 2048     		y = 0.1611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12916533352441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12916533352441))-π/2
    2×atan(8.40784613458549)-π/2
    2×1.45241591088479-π/2
    2.90483182176958-1.57079632675     		φ = 1.33403550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33403550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.434604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1310 KachelY 330 0.87743701 1.33403550 50.273437 76.434604
    Oben rechts KachelX + 1 1311 KachelY 330 0.88050497 1.33403550 50.449219 76.434604
    Unten links KachelX 1310 KachelY + 1 331 0.87743701 1.33331482 50.273437 76.393312
    Unten rechts KachelX + 1 1311 KachelY + 1 331 0.88050497 1.33331482 50.449219 76.393312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33403550-1.33331482) × R
    0.000720679999999918 × 6371000     		dl = 4591.45227999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33403550-1.33331482) × R
    0.000720679999999918 × 6371000     		dr = 4591.45227999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.88050497) × cos(1.33403550) × R
    0.00306796000000009 × 0.23455505297213 × 6371000     		do = 4584.60676993577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.88050497) × cos(1.33331482) × R
    0.00306796000000009 × 0.235255567073022 × 6371000     		du = 4598.29899975001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33403550)-sin(1.33331482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23455505297213-0.235255567073022)×R²
    abs(0.88050497-0.87743701)×0.000700514100892558×R²
    0.00306796000000009×0.000700514100892558×6371000²
    0.00306796000000009×0.000700514100892558×40589641000000     		ar = 21081437.7290522m²