Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 131 / 396
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
W 87.890625°		 ← 27.180 km → S 69.657086°
W 87.187500°		 →
↑
27.024 km
↓
↑
27.024 km
↓
S 69.900118°
W 87.890625°		 ← 26.869 km →
730.297 km²		 S 69.900118°
W 87.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2568359375 y=0.7744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2568359375 × 29)
    floor (0.2568359375 × 512)
    floor (131.5)     		tx = 131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7744140625 × 29)
    floor (0.7744140625 × 512)
    floor (396.5)     		ty = 396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 131 / 396 ti = "9/131/396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/131/396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 131 ÷ 29
    131 ÷ 512     		x = 0.255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 396 ÷ 29
    396 ÷ 512     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255859375 × 2 - 1) × π
    -0.48828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53398079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53398079} λ = -1.53398079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53398079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 131 KachelY 396 -1.53398079 -1.21574550 -87.890625 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 132 KachelY 396 -1.52170894 -1.21574550 -87.187500 -69.657086
    Unten links KachelX 131 KachelY + 1 397 -1.53398079 -1.21998720 -87.890625 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 132 KachelY + 1 397 -1.52170894 -1.21998720 -87.187500 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.21998720) × R
    0.00424170000000013 × 6371000     		dl = 27023.8707000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.21998720) × R
    0.00424170000000013 × 6371000     		dr = 27023.8707000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53398079--1.52170894) × cos(-1.21574550) × R
    0.0122718500000001 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 27179.7159652131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53398079--1.52170894) × cos(-1.21998720) × R
    0.0122718500000001 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 26868.5238356756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.343657766759656)×R²
    abs(-1.52170894--1.53398079)×0.00398025559290444×R²
    0.0122718500000001×0.00398025559290444×6371000²
    0.0122718500000001×0.00398025559290444×40589641000000     		ar = 730297416.931685m²