Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13094 / 6566
↖ ↑ ↗
← N 33.614619°
E107.709961°		 ← 2 034.66 m → N 33.614619°
E107.731934°		 →
↑
2 034.90 m
↓
↑
2 034.90 m
↓
N 33.596319°
E107.709961°		 ← 2 035.09 m →
4 140 765 m²		 N 33.596319°
E107.731934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799224853515625 y=0.400787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799224853515625 × 214)
    floor (0.799224853515625 × 16384)
    floor (13094.5)     		tx = 13094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400787353515625 × 214)
    floor (0.400787353515625 × 16384)
    floor (6566.5)     		ty = 6566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13094 / 6566 ti = "14/13094/6566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13094/6566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13094 ÷ 214
    13094 ÷ 16384     		x = 0.7991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6566 ÷ 214
    6566 ÷ 16384     		y = 0.4007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7991943359375 × 2 - 1) × π
    0.598388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87989346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4007568359375 × 2 - 1) × π
    0.198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.62356319025769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87989346} λ = 1.87989346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.62356319025769))-π/2
    2×atan(1.86556357094054)-π/2
    2×1.07874105511784-π/2
    2.15748211023568-1.57079632675     		φ = 0.58668578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87989346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58668578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.614619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13094 KachelY 6566 1.87989346 0.58668578 107.709961 33.614619
    Oben rechts KachelX + 1 13095 KachelY 6566 1.88027695 0.58668578 107.731934 33.614619
    Unten links KachelX 13094 KachelY + 1 6567 1.87989346 0.58636638 107.709961 33.596319
    Unten rechts KachelX + 1 13095 KachelY + 1 6567 1.88027695 0.58636638 107.731934 33.596319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58668578-0.58636638) × R
    0.000319400000000081 × 6371000     		dl = 2034.89740000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58668578-0.58636638) × R
    0.000319400000000081 × 6371000     		dr = 2034.89740000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87989346-1.88027695) × cos(0.58668578) × R
    0.000383490000000153 × 0.832780015009381 × 6371000     		do = 2034.66044948815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87989346-1.88027695) × cos(0.58636638) × R
    0.000383490000000153 × 0.832956793662051 × 6371000     		du = 2035.09235770691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58668578)-sin(0.58636638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832780015009381-0.832956793662051)×R²
    abs(1.88027695-1.87989346)×0.000176778652670517×R²
    0.000383490000000153×0.000176778652670517×6371000²
    0.000383490000000153×0.000176778652670517×40589641000000     		ar = 4140764.73820406m²