Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13090 / 6562
↖ ↑ ↗
← N 33.687782°
E107.622070°		 ← 2 032.98 m → N 33.687782°
E107.644043°		 →
↑
2 033.18 m
↓
↑
2 033.18 m
↓
N 33.669497°
E107.622070°		 ← 2 033.42 m →
4 133 858 m²		 N 33.669497°
E107.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798980712890625 y=0.400543212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798980712890625 × 214)
    floor (0.798980712890625 × 16384)
    floor (13090.5)     		tx = 13090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400543212890625 × 214)
    floor (0.400543212890625 × 16384)
    floor (6562.5)     		ty = 6562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13090 / 6562 ti = "14/13090/6562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13090/6562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13090 ÷ 214
    13090 ÷ 16384     		x = 0.7989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6562 ÷ 214
    6562 ÷ 16384     		y = 0.4005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7989501953125 × 2 - 1) × π
    0.597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87835947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4005126953125 × 2 - 1) × π
    0.198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.625097171045532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87835947} λ = 1.87835947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625097171045532))-π/2
    2×atan(1.86842750566569)-π/2
    2×1.07937951807904-π/2
    2.15875903615808-1.57079632675     		φ = 0.58796271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87835947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58796271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.687782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13090 KachelY 6562 1.87835947 0.58796271 107.622070 33.687782
    Oben rechts KachelX + 1 13091 KachelY 6562 1.87874297 0.58796271 107.644043 33.687782
    Unten links KachelX 13090 KachelY + 1 6563 1.87835947 0.58764358 107.622070 33.669497
    Unten rechts KachelX + 1 13091 KachelY + 1 6563 1.87874297 0.58764358 107.644043 33.669497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58796271-0.58764358) × R
    0.000319129999999945 × 6371000     		dl = 2033.17722999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58796271-0.58764358) × R
    0.000319129999999945 × 6371000     		dr = 2033.17722999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87835947-1.87874297) × cos(0.58796271) × R
    0.000383500000000092 × 0.8320724226344 × 6371000     		do = 2032.98466066603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87835947-1.87874297) × cos(0.58764358) × R
    0.000383500000000092 × 0.83224939114108 × 6371000     		du = 2033.41704401358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58796271)-sin(0.58764358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8320724226344-0.83224939114108)×R²
    abs(1.87874297-1.87835947)×0.000176968506680475×R²
    0.000383500000000092×0.000176968506680475×6371000²
    0.000383500000000092×0.000176968506680475×40589641000000     		ar = 4133857.71207828m²