Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13090 / 12203
↖ ↑ ↗
← S 65.757706°
E107.622070°		 ← 1 003.20 m → S 65.757706°
E107.644043°		 →
↑
1 003.05 m
↓
↑
1 003.05 m
↓
S 65.766727°
E107.622070°		 ← 1 002.85 m →
1 006 085 m²		 S 65.766727°
E107.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798980712890625 y=0.744842529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798980712890625 × 214)
    floor (0.798980712890625 × 16384)
    floor (13090.5)     		tx = 13090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744842529296875 × 214)
    floor (0.744842529296875 × 16384)
    floor (12203.5)     		ty = 12203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13090 / 12203 ti = "14/13090/12203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13090/12203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13090 ÷ 214
    13090 ÷ 16384     		x = 0.7989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12203 ÷ 214
    12203 ÷ 16384     		y = 0.74481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7989501953125 × 2 - 1) × π
    0.597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87835947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.4896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53819923500836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87835947} λ = 1.87835947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53819923500836))-π/2
    2×atan(0.214767499210681)-π/2
    2×0.211553921118528-π/2
    0.423107842237056-1.57079632675     		φ = -1.14768848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87835947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14768848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.757706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13090 KachelY 12203 1.87835947 -1.14768848 107.622070 -65.757706
    Oben rechts KachelX + 1 13091 KachelY 12203 1.87874297 -1.14768848 107.644043 -65.757706
    Unten links KachelX 13090 KachelY + 1 12204 1.87835947 -1.14784592 107.622070 -65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 13091 KachelY + 1 12204 1.87874297 -1.14784592 107.644043 -65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14768848--1.14784592) × R
    0.000157439999999953 × 6371000     		dl = 1003.0502399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14768848--1.14784592) × R
    0.000157439999999953 × 6371000     		dr = 1003.0502399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87835947-1.87874297) × cos(-1.14768848) × R
    0.000383500000000092 × 0.41059621980928 × 6371000     		do = 1003.20091604153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87835947-1.87874297) × cos(-1.14784592) × R
    0.000383500000000092 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 1002.8501550706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14768848)-sin(-1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41059621980928-0.410452658209189)×R²
    abs(1.87874297-1.87835947)×0.000143561600091102×R²
    0.000383500000000092×0.000143561600091102×6371000²
    0.000383500000000092×0.000143561600091102×40589641000000     		ar = 1006085.00624378m²