Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1307 / 789
↖ ↑ ↗
← N 80.949188°
W122.563477°		 ← 768.70 m → N 80.949188°
W122.519531°		 →
↑
768.98 m
↓
↑
768.98 m
↓
N 80.942273°
W122.563477°		 ← 769.28 m →
591 335 m²		 N 80.942273°
W122.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15960693359375 y=0.09637451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15960693359375 × 213)
    floor (0.15960693359375 × 8192)
    floor (1307.5)     		tx = 1307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09637451171875 × 213)
    floor (0.09637451171875 × 8192)
    floor (789.5)     		ty = 789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1307 / 789 ti = "13/1307/789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1307/789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1307 ÷ 213
    1307 ÷ 8192     		x = 0.1595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 789 ÷ 213
    789 ÷ 8192     		y = 0.0963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13913621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0963134765625 × 2 - 1) × π
    0.807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53643723269641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13913621} λ = -2.13913621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53643723269641))-π/2
    2×atan(12.6345766316969)-π/2
    2×1.49181309581737-π/2
    2.98362619163473-1.57079632675     		φ = 1.41282986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13913621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.563477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41282986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.949188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1307 KachelY 789 -2.13913621 1.41282986 -122.563477 80.949188
    Oben rechts KachelX + 1 1308 KachelY 789 -2.13836922 1.41282986 -122.519531 80.949188
    Unten links KachelX 1307 KachelY + 1 790 -2.13913621 1.41270916 -122.563477 80.942273
    Unten rechts KachelX + 1 1308 KachelY + 1 790 -2.13836922 1.41270916 -122.519531 80.942273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41282986-1.41270916) × R
    0.000120700000000085 × 6371000     		dl = 768.979700000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41282986-1.41270916) × R
    0.000120700000000085 × 6371000     		dr = 768.979700000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13913621--2.13836922) × cos(1.41282986) × R
    0.000766990000000245 × 0.157310319125372 × 6371000     		do = 768.695818854134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13913621--2.13836922) × cos(1.41270916) × R
    0.000766990000000245 × 0.157429515170146 × 6371000     		du = 769.278269527116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41282986)-sin(1.41270916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157310319125372-0.157429515170146)×R²
    abs(-2.13836922--2.13913621)×0.00011919604477395×R²
    0.000766990000000245×0.00011919604477395×6371000²
    0.000766990000000245×0.00011919604477395×40589641000000     		ar = 591335.427266066m²