Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1307 / 1888
↖ ↑ ↗
← N 69.162558°
W122.563477°		 ← 1 738.21 m → N 69.162558°
W122.519531°		 →
↑
1 738.84 m
↓
↑
1 738.84 m
↓
N 69.146920°
W122.563477°		 ← 1 739.46 m →
3 023 552 m²		 N 69.146920°
W122.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15960693359375 y=0.23052978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15960693359375 × 213)
    floor (0.15960693359375 × 8192)
    floor (1307.5)     		tx = 1307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23052978515625 × 213)
    floor (0.23052978515625 × 8192)
    floor (1888.5)     		ty = 1888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1307 / 1888 ti = "13/1307/1888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1307/1888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1307 ÷ 213
    1307 ÷ 8192     		x = 0.1595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1888 ÷ 213
    1888 ÷ 8192     		y = 0.23046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13913621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23046875 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13913621} λ = -2.13913621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69351478977734))-π/2
    2×atan(5.43856255521356)-π/2
    2×1.38895534068768-π/2
    2.77791068137535-1.57079632675     		φ = 1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13913621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.563477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1307 KachelY 1888 -2.13913621 1.20711435 -122.563477 69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 1308 KachelY 1888 -2.13836922 1.20711435 -122.519531 69.162558
    Unten links KachelX 1307 KachelY + 1 1889 -2.13913621 1.20684142 -122.563477 69.146920
    Unten rechts KachelX + 1 1308 KachelY + 1 1889 -2.13836922 1.20684142 -122.519531 69.146920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20711435-1.20684142) × R
    0.000272929999999949 × 6371000     		dl = 1738.83702999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20711435-1.20684142) × R
    0.000272929999999949 × 6371000     		dr = 1738.83702999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13913621--2.13836922) × cos(1.20711435) × R
    0.000766990000000245 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 1738.21258417793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13913621--2.13836922) × cos(1.20684142) × R
    0.000766990000000245 × 0.355972853325578 × 6371000     		du = 1739.45895919815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20711435)-sin(1.20684142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.355972853325578)×R²
    abs(-2.13836922--2.13913621)×0.000255065329316073×R²
    0.000766990000000245×0.000255065329316073×6371000²
    0.000766990000000245×0.000255065329316073×40589641000000     		ar = 3023552.04766795m²