Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13058 / 22262
↖ ↑ ↗
← S 54.098060°
W 36.540527°		 ← 716.37 m → S 54.098060°
W 36.529541°		 →
↑
716.29 m
↓
↑
716.29 m
↓
S 54.104502°
W 36.540527°		 ← 716.26 m →
513 089 m²		 S 54.104502°
W 36.529541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398513793945312 y=0.679397583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398513793945312 × 215)
    floor (0.398513793945312 × 32768)
    floor (13058.5)     		tx = 13058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679397583007812 × 215)
    floor (0.679397583007812 × 32768)
    floor (22262.5)     		ty = 22262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13058 / 22262 ti = "15/13058/22262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13058/22262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13058 ÷ 215
    13058 ÷ 32768     		x = 0.39849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22262 ÷ 215
    22262 ÷ 32768     		y = 0.67938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63775251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.3587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12709238386676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63775251} λ = -0.63775251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12709238386676))-π/2
    2×atan(0.323973879953589)-π/2
    2×0.313303528838645-π/2
    0.626607057677289-1.57079632675     		φ = -0.94418927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63775251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.540527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94418927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.098060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13058 KachelY 22262 -0.63775251 -0.94418927 -36.540527 -54.098060
    Oben rechts KachelX + 1 13059 KachelY 22262 -0.63756076 -0.94418927 -36.529541 -54.098060
    Unten links KachelX 13058 KachelY + 1 22263 -0.63775251 -0.94430170 -36.540527 -54.104502
    Unten rechts KachelX + 1 13059 KachelY + 1 22263 -0.63756076 -0.94430170 -36.529541 -54.104502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94418927--0.94430170) × R
    0.000112430000000052 × 6371000     		dl = 716.291530000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94418927--0.94430170) × R
    0.000112430000000052 × 6371000     		dr = 716.291530000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63775251--0.63756076) × cos(-0.94418927) × R
    0.000191750000000046 × 0.586399780625925 × 6371000     		do = 716.368988204192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63775251--0.63756076) × cos(-0.94430170) × R
    0.000191750000000046 × 0.58630870617028 × 6371000     		du = 716.257728074504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94418927)-sin(-0.94430170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586399780625925-0.58630870617028)×R²
    abs(-0.63756076--0.63775251)×9.1074455644824e-05×R²
    0.000191750000000046×9.1074455644824e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.1074455644824e-05×40589641000000     		ar = 513089.191802391m²