Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13055 / 22264
↖ ↑ ↗
← S 54.110943°
W 36.573487°		 ← 716.15 m → S 54.110943°
W 36.562500°		 →
↑
716.04 m
↓
↑
716.04 m
↓
S 54.117383°
W 36.573487°		 ← 716.04 m →
512 747 m²		 S 54.117383°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398422241210938 y=0.679458618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398422241210938 × 215)
    floor (0.398422241210938 × 32768)
    floor (13055.5)     		tx = 13055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679458618164062 × 215)
    floor (0.679458618164062 × 32768)
    floor (22264.5)     		ty = 22264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13055 / 22264 ti = "15/13055/22264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13055/22264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13055 ÷ 215
    13055 ÷ 32768     		x = 0.398406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22264 ÷ 215
    22264 ÷ 32768     		y = 0.679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.20318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.63832776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.35888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63832776} λ = -0.63832776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12747587906372))-π/2
    2×atan(0.323849661346829)-π/2
    2×0.31319110555223-π/2
    0.626382211104459-1.57079632675     		φ = -0.94441412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63832776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.573487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94441412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.110943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13055 KachelY 22264 -0.63832776 -0.94441412 -36.573487 -54.110943
    Oben rechts KachelX + 1 13056 KachelY 22264 -0.63813601 -0.94441412 -36.562500 -54.110943
    Unten links KachelX 13055 KachelY + 1 22265 -0.63832776 -0.94452651 -36.573487 -54.117383
    Unten rechts KachelX + 1 13056 KachelY + 1 22265 -0.63813601 -0.94452651 -36.562500 -54.117383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94441412--0.94452651) × R
    0.000112389999999962 × 6371000     		dl = 716.036689999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94441412--0.94452651) × R
    0.000112389999999962 × 6371000     		dr = 716.036689999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63832776--0.63813601) × cos(-0.94441412) × R
    0.000191750000000046 × 0.586217632404934 × 6371000     		do = 716.146468788111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63832776--0.63813601) × cos(-0.94452651) × R
    0.000191750000000046 × 0.586126575537404 × 6371000     		du = 716.035230144754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94441412)-sin(-0.94452651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586217632404934-0.586126575537404)×R²
    abs(-0.63813601--0.63832776)×9.10568675300816e-05×R²
    0.000191750000000046×9.10568675300816e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.10568675300816e-05×40589641000000     		ar = 512747.322131109m²