Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13050 / 22266
↖ ↑ ↗
← S 54.123822°
W 36.628418°		 ← 715.89 m → S 54.123822°
W 36.617432°		 →
↑
715.85 m
↓
↑
715.85 m
↓
S 54.130259°
W 36.628418°		 ← 715.78 m →
512 424 m²		 S 54.130259°
W 36.617432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398269653320312 y=0.679519653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398269653320312 × 215)
    floor (0.398269653320312 × 32768)
    floor (13050.5)     		tx = 13050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679519653320312 × 215)
    floor (0.679519653320312 × 32768)
    floor (22266.5)     		ty = 22266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13050 / 22266 ti = "15/13050/22266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13050/22266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13050 ÷ 215
    13050 ÷ 32768     		x = 0.39825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22266 ÷ 215
    22266 ÷ 32768     		y = 0.67950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.2034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.63928649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.3590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12785937426068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63928649} λ = -0.63928649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12785937426068))-π/2
    2×atan(0.323725490368173)-π/2
    2×0.313078717189182-π/2
    0.626157434378364-1.57079632675     		φ = -0.94463889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63928649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.628418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94463889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.123822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13050 KachelY 22266 -0.63928649 -0.94463889 -36.628418 -54.123822
    Oben rechts KachelX + 1 13051 KachelY 22266 -0.63909475 -0.94463889 -36.617432 -54.123822
    Unten links KachelX 13050 KachelY + 1 22267 -0.63928649 -0.94475125 -36.628418 -54.130259
    Unten rechts KachelX + 1 13051 KachelY + 1 22267 -0.63909475 -0.94475125 -36.617432 -54.130259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94463889--0.94475125) × R
    0.000112360000000034 × 6371000     		dl = 715.845560000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94463889--0.94475125) × R
    0.000112360000000034 × 6371000     		dr = 715.845560000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63928649--0.63909475) × cos(-0.94463889) × R
    0.000191739999999996 × 0.586035519369062 × 6371000     		do = 715.886656032427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63928649--0.63909475) × cos(-0.94475125) × R
    0.000191739999999996 × 0.585944472006548 × 6371000     		du = 715.775434801398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94463889)-sin(-0.94475125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586035519369062-0.585944472006548)×R²
    abs(-0.63909475--0.63928649)×9.10473625147512e-05×R²
    0.000191739999999996×9.10473625147512e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.10473625147512e-05×40589641000000     		ar = 512424.476111275m²