Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13048 / 22263
↖ ↑ ↗
← S 54.104502°
W 36.650391°		 ← 716.26 m → S 54.104502°
W 36.639404°		 →
↑
716.23 m
↓
↑
716.23 m
↓
S 54.110943°
W 36.650391°		 ← 716.15 m →
512 964 m²		 S 54.110943°
W 36.639404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398208618164062 y=0.679428100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398208618164062 × 215)
    floor (0.398208618164062 × 32768)
    floor (13048.5)     		tx = 13048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679428100585938 × 215)
    floor (0.679428100585938 × 32768)
    floor (22263.5)     		ty = 22263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13048 / 22263 ti = "15/13048/22263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13048/22263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13048 ÷ 215
    13048 ÷ 32768     		x = 0.398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22263 ÷ 215
    22263 ÷ 32768     		y = 0.679412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63966999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.35882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12728413146524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63966999} λ = -0.63966999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12728413146524))-π/2
    2×atan(0.323911764695554)-π/2
    2×0.313247312829693-π/2
    0.626494625659387-1.57079632675     		φ = -0.94430170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63966999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94430170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.104502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13048 KachelY 22263 -0.63966999 -0.94430170 -36.650391 -54.104502
    Oben rechts KachelX + 1 13049 KachelY 22263 -0.63947824 -0.94430170 -36.639404 -54.104502
    Unten links KachelX 13048 KachelY + 1 22264 -0.63966999 -0.94441412 -36.650391 -54.110943
    Unten rechts KachelX + 1 13049 KachelY + 1 22264 -0.63947824 -0.94441412 -36.639404 -54.110943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94430170--0.94441412) × R
    0.000112420000000002 × 6371000     		dl = 716.227820000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94430170--0.94441412) × R
    0.000112420000000002 × 6371000     		dr = 716.227820000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63966999--0.63947824) × cos(-0.94430170) × R
    0.000191750000000046 × 0.58630870617028 × 6371000     		do = 716.257728074504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63966999--0.63947824) × cos(-0.94441412) × R
    0.000191750000000046 × 0.586217632404934 × 6371000     		du = 716.146468788111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94430170)-sin(-0.94441412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58630870617028-0.586217632404934)×R²
    abs(-0.63947824--0.63966999)×9.1073765346561e-05×R²
    0.000191750000000046×9.1073765346561e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.1073765346561e-05×40589641000000     		ar = 512963.868178903m²