Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13040 / 14071
↖ ↑ ↗
← N 71.090085°
W108.369141°		 ← 197.94 m → N 71.090085°
W108.363648°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 71.088305°
W108.369141°		 ← 197.96 m →
39 184 m²		 N 71.088305°
W108.363648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.198982238769531 y=0.214714050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.198982238769531 × 216)
    floor (0.198982238769531 × 65536)
    floor (13040.5)     		tx = 13040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214714050292969 × 216)
    floor (0.214714050292969 × 65536)
    floor (14071.5)     		ty = 14071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13040 / 14071 ti = "16/13040/14071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13040/14071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13040 ÷ 216
    13040 ÷ 65536     		x = 0.198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14071 ÷ 216
    14071 ÷ 65536     		y = 0.214706420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214706420898438 × 2 - 1) × π
    0.570587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79255242439238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.89139831} λ = -1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79255242439238))-π/2
    2×atan(6.00475961781832)-π/2
    2×1.40577618848865-π/2
    2.81155237697729-1.57079632675     		φ = 1.24075605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24075605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.090085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13040 KachelY 14071 -1.89139831 1.24075605 -108.369141 71.090085
    Oben rechts KachelX + 1 13041 KachelY 14071 -1.89130244 1.24075605 -108.363648 71.090085
    Unten links KachelX 13040 KachelY + 1 14072 -1.89139831 1.24072498 -108.369141 71.088305
    Unten rechts KachelX + 1 13041 KachelY + 1 14072 -1.89130244 1.24072498 -108.363648 71.088305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24075605-1.24072498) × R
    3.10700000001329e-05 × 6371000     		dl = 197.946970000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24075605-1.24072498) × R
    3.10700000001329e-05 × 6371000     		dr = 197.946970000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.89139831--1.89130244) × cos(1.24075605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324081131685457 × 6371000     		do = 197.944791721232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.89139831--1.89130244) × cos(1.24072498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32411052465911 × 6371000     		du = 197.962744590063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24075605)-sin(1.24072498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324081131685457-0.32411052465911)×R²
    abs(-1.89130244--1.89139831)×2.93929736525089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93929736525089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93929736525089e-05×40589641000000     		ar = 39184.3486097512m²