Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13038 / 14158
↖ ↑ ↗
← N 80.261757°
W144.190064°		 ← 51.66 m → N 80.261757°
W144.187317°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.261292°
W144.190064°		 ← 51.66 m →
2 669 m²		 N 80.261292°
W144.187317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0994758605957031 y=0.108020782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0994758605957031 × 217)
    floor (0.0994758605957031 × 131072)
    floor (13038.5)     		tx = 13038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108020782470703 × 217)
    floor (0.108020782470703 × 131072)
    floor (14158.5)     		ty = 14158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13038 / 14158 ti = "17/13038/14158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13038/14158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13038 ÷ 217
    13038 ÷ 131072     		x = 0.0994720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14158 ÷ 217
    14158 ÷ 131072     		y = 0.108016967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0994720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.801055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.51659136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108016967773438 × 2 - 1) × π
    0.783966064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46290202867924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.51659136} λ = -2.51659136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46290202867924))-π/2
    2×atan(11.7388285740857)-π/2
    2×1.48581412359549-π/2
    2.97162824719097-1.57079632675     		φ = 1.40083192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.51659136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40083192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.261757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13038 KachelY 14158 -2.51659136 1.40083192 -144.190064 80.261757
    Oben rechts KachelX + 1 13039 KachelY 14158 -2.51654342 1.40083192 -144.187317 80.261757
    Unten links KachelX 13038 KachelY + 1 14159 -2.51659136 1.40082381 -144.190064 80.261292
    Unten rechts KachelX + 1 13039 KachelY + 1 14159 -2.51654342 1.40082381 -144.187317 80.261292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40083192-1.40082381) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40083192-1.40082381) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.51659136--2.51654342) × cos(1.40083192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169147268839082 × 6371000     		do = 51.6619297541216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.51659136--2.51654342) × cos(1.40082381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16915526197481 × 6371000     		du = 51.6643710635163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40083192)-sin(1.40082381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169147268839082-0.16915526197481)×R²
    abs(-2.51654342--2.51659136)×7.99313572821814e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.99313572821814e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.99313572821814e-06×40589641000000     		ar = 2669.37350260781m²