Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13029 / 12491
↖ ↑ ↗
← S 68.228674°
E106.281738°		 ← 906.20 m → S 68.228674°
E106.303711°		 →
↑
906.08 m
↓
↑
906.08 m
↓
S 68.236823°
E106.281738°		 ← 905.87 m →
820 943 m²		 S 68.236823°
E106.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795257568359375 y=0.762420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795257568359375 × 214)
    floor (0.795257568359375 × 16384)
    floor (13029.5)     		tx = 13029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762420654296875 × 214)
    floor (0.762420654296875 × 16384)
    floor (12491.5)     		ty = 12491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13029 / 12491 ti = "14/13029/12491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13029/12491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13029 ÷ 214
    13029 ÷ 16384     		x = 0.79522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12491 ÷ 214
    12491 ÷ 16384     		y = 0.76239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79522705078125 × 2 - 1) × π
    0.5904541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85496627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.5247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64864585173297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85496627} λ = 1.85496627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64864585173297))-π/2
    2×atan(0.192310148833845)-π/2
    2×0.189990656835867-π/2
    0.379981313671734-1.57079632675     		φ = -1.19081501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85496627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19081501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.228674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13029 KachelY 12491 1.85496627 -1.19081501 106.281738 -68.228674
    Oben rechts KachelX + 1 13030 KachelY 12491 1.85534976 -1.19081501 106.303711 -68.228674
    Unten links KachelX 13029 KachelY + 1 12492 1.85496627 -1.19095723 106.281738 -68.236823
    Unten rechts KachelX + 1 13030 KachelY + 1 12492 1.85534976 -1.19095723 106.303711 -68.236823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19081501--1.19095723) × R
    0.000142220000000082 × 6371000     		dl = 906.083620000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19081501--1.19095723) × R
    0.000142220000000082 × 6371000     		dr = 906.083620000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85496627-1.85534976) × cos(-1.19081501) × R
    0.000383489999999931 × 0.370903118916388 × 6371000     		do = 906.195985793484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85496627-1.85534976) × cos(-1.19095723) × R
    0.000383489999999931 × 0.370771039495761 × 6371000     		du = 905.873287399554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19081501)-sin(-1.19095723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370903118916388-0.370771039495761)×R²
    abs(1.85534976-1.85496627)×0.000132079420626929×R²
    0.000383489999999931×0.000132079420626929×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132079420626929×40589641000000     		ar = 820943.144755946m²