Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13028 / 12494
↖ ↑ ↗
← S 68.253110°
E106.259765°		 ← 905.25 m → S 68.253110°
E106.281738°		 →
↑
905.13 m
↓
↑
905.13 m
↓
S 68.261250°
E106.259765°		 ← 904.93 m →
819 223 m²		 S 68.261250°
E106.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795196533203125 y=0.762603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795196533203125 × 214)
    floor (0.795196533203125 × 16384)
    floor (13028.5)     		tx = 13028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762603759765625 × 214)
    floor (0.762603759765625 × 16384)
    floor (12494.5)     		ty = 12494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13028 / 12494 ti = "14/13028/12494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13028/12494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13028 ÷ 214
    13028 ÷ 16384     		x = 0.795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12494 ÷ 214
    12494 ÷ 16384     		y = 0.7625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795166015625 × 2 - 1) × π
    0.59033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85458277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64979633732385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85458277} λ = 1.85458277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64979633732385))-π/2
    2×atan(0.192089026002338)-π/2
    2×0.1897774114355-π/2
    0.379554822871-1.57079632675     		φ = -1.19124150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85458277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.259765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19124150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.253110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13028 KachelY 12494 1.85458277 -1.19124150 106.259765 -68.253110
    Oben rechts KachelX + 1 13029 KachelY 12494 1.85496627 -1.19124150 106.281738 -68.253110
    Unten links KachelX 13028 KachelY + 1 12495 1.85458277 -1.19138357 106.259765 -68.261250
    Unten rechts KachelX + 1 13029 KachelY + 1 12495 1.85496627 -1.19138357 106.281738 -68.261250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19124150--1.19138357) × R
    0.000142069999999883 × 6371000     		dl = 905.127969999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19124150--1.19138357) × R
    0.000142069999999883 × 6371000     		dr = 905.127969999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85458277-1.85496627) × cos(-1.19124150) × R
    0.000383500000000092 × 0.370507016059995 × 6371000     		do = 905.251826438758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85458277-1.85496627) × cos(-1.19138357) × R
    0.000383500000000092 × 0.370375053490455 × 6371000     		du = 904.929405129797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19124150)-sin(-1.19138357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370507016059995-0.370375053490455)×R²
    abs(1.85496627-1.85458277)×0.000131962569539623×R²
    0.000383500000000092×0.000131962569539623×6371000²
    0.000383500000000092×0.000131962569539623×40589641000000     		ar = 819222.833108281m²