Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13025 / 12410
↖ ↑ ↗
← S 67.558948°
E106.193848°		 ← 932.66 m → S 67.558948°
E106.215820°		 →
↑
932.52 m
↓
↑
932.52 m
↓
S 67.567334°
E106.193848°		 ← 932.32 m →
869 568 m²		 S 67.567334°
E106.215820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795013427734375 y=0.757476806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795013427734375 × 214)
    floor (0.795013427734375 × 16384)
    floor (13025.5)     		tx = 13025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757476806640625 × 214)
    floor (0.757476806640625 × 16384)
    floor (12410.5)     		ty = 12410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13025 / 12410 ti = "14/13025/12410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13025/12410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13025 ÷ 214
    13025 ÷ 16384     		x = 0.79498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12410 ÷ 214
    12410 ÷ 16384     		y = 0.7574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79498291015625 × 2 - 1) × π
    0.5899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85343229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61758274077917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85343229} λ = 1.85343229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61758274077917))-π/2
    2×atan(0.198377650180026)-π/2
    2×0.195835122524661-π/2
    0.391670245049322-1.57079632675     		φ = -1.17912608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85343229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17912608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.558948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13025 KachelY 12410 1.85343229 -1.17912608 106.193848 -67.558948
    Oben rechts KachelX + 1 13026 KachelY 12410 1.85381578 -1.17912608 106.215820 -67.558948
    Unten links KachelX 13025 KachelY + 1 12411 1.85343229 -1.17927245 106.193848 -67.567334
    Unten rechts KachelX + 1 13026 KachelY + 1 12411 1.85381578 -1.17927245 106.215820 -67.567334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17912608--1.17927245) × R
    0.000146369999999951 × 6371000     		dl = 932.523269999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17912608--1.17927245) × R
    0.000146369999999951 × 6371000     		dr = 932.523269999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85343229-1.85381578) × cos(-1.17912608) × R
    0.000383489999999931 × 0.381732710487368 × 6371000     		do = 932.655004089358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85343229-1.85381578) × cos(-1.17927245) × R
    0.000383489999999931 × 0.381597420594589 × 6371000     		du = 932.324461822381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17912608)-sin(-1.17927245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381732710487368-0.381597420594589)×R²
    abs(1.85381578-1.85343229)×0.000135289892779611×R²
    0.000383489999999931×0.000135289892779611×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135289892779611×40589641000000     		ar = 869568.376568712m²