Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13022 / 12419
↖ ↑ ↗
← S 67.634317°
E106.127930°		 ← 929.71 m → S 67.634317°
E106.149903°		 →
↑
929.53 m
↓
↑
929.53 m
↓
S 67.642677°
E106.127930°		 ← 929.38 m →
864 037 m²		 S 67.642677°
E106.149903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794830322265625 y=0.758026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794830322265625 × 214)
    floor (0.794830322265625 × 16384)
    floor (13022.5)     		tx = 13022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758026123046875 × 214)
    floor (0.758026123046875 × 16384)
    floor (12419.5)     		ty = 12419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13022 / 12419 ti = "14/13022/12419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13022/12419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13022 ÷ 214
    13022 ÷ 16384     		x = 0.7947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12419 ÷ 214
    12419 ÷ 16384     		y = 0.75799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    0.589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85228180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.5159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62103419755182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85228180} λ = 1.85228180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62103419755182))-π/2
    2×atan(0.197694138529759)-π/2
    2×0.195177405388489-π/2
    0.390354810776977-1.57079632675     		φ = -1.18044152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85228180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.127930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18044152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.634317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13022 KachelY 12419 1.85228180 -1.18044152 106.127930 -67.634317
    Oben rechts KachelX + 1 13023 KachelY 12419 1.85266530 -1.18044152 106.149903 -67.634317
    Unten links KachelX 13022 KachelY + 1 12420 1.85228180 -1.18058742 106.127930 -67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 13023 KachelY + 1 12420 1.85266530 -1.18058742 106.149903 -67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18044152--1.18058742) × R
    0.000145899999999921 × 6371000     		dl = 929.528899999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18044152--1.18058742) × R
    0.000145899999999921 × 6371000     		dr = 929.528899999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85228180-1.85266530) × cos(-1.18044152) × R
    0.00038349999999987 × 0.380516555204822 × 6371000     		do = 929.707918225689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85228180-1.85266530) × cos(-1.18058742) × R
    0.00038349999999987 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 929.378250098063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18044152)-sin(-1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380516555204822-0.380381626612921)×R²
    abs(1.85266530-1.85228180)×0.00013492859190084×R²
    0.00038349999999987×0.00013492859190084×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013492859190084×40589641000000     		ar = 864037.16205654m²