Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13021 / 12381
↖ ↑ ↗
← S 67.314451°
E106.105957°		 ← 942.28 m → S 67.314451°
E106.127930°		 →
↑
942.14 m
↓
↑
942.14 m
↓
S 67.322924°
E106.105957°		 ← 941.95 m →
887 609 m²		 S 67.322924°
E106.127930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794769287109375 y=0.755706787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794769287109375 × 214)
    floor (0.794769287109375 × 16384)
    floor (13021.5)     		tx = 13021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755706787109375 × 214)
    floor (0.755706787109375 × 16384)
    floor (12381.5)     		ty = 12381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13021 / 12381 ti = "14/13021/12381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13021/12381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13021 ÷ 214
    13021 ÷ 16384     		x = 0.79473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12381 ÷ 214
    12381 ÷ 16384     		y = 0.75567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79473876953125 × 2 - 1) × π
    0.5894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85189831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.5113525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60646138006732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85189831} λ = 1.85189831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60646138006732))-π/2
    2×atan(0.200596193327547)-π/2
    2×0.197968756883538-π/2
    0.395937513767076-1.57079632675     		φ = -1.17485881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85189831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17485881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.314451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13021 KachelY 12381 1.85189831 -1.17485881 106.105957 -67.314451
    Oben rechts KachelX + 1 13022 KachelY 12381 1.85228180 -1.17485881 106.127930 -67.314451
    Unten links KachelX 13021 KachelY + 1 12382 1.85189831 -1.17500669 106.105957 -67.322924
    Unten rechts KachelX + 1 13022 KachelY + 1 12382 1.85228180 -1.17500669 106.127930 -67.322924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17485881--1.17500669) × R
    0.0001478800000001 × 6371000     		dl = 942.143480000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17485881--1.17500669) × R
    0.0001478800000001 × 6371000     		dr = 942.143480000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85189831-1.85228180) × cos(-1.17485881) × R
    0.000383490000000153 × 0.385673344350999 × 6371000     		do = 942.282819027498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85189831-1.85228180) × cos(-1.17500669) × R
    0.000383490000000153 × 0.385536900812288 × 6371000     		du = 941.94945815572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17485881)-sin(-1.17500669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385673344350999-0.385536900812288)×R²
    abs(1.85228180-1.85189831)×0.000136443538711006×R²
    0.000383490000000153×0.000136443538711006×6371000²
    0.000383490000000153×0.000136443538711006×40589641000000     		ar = 887608.578994332m²