Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13020 / 12382
↖ ↑ ↗
← S 67.322924°
E106.083984°		 ← 941.97 m → S 67.322924°
E106.105957°		 →
↑
941.82 m
↓
↑
941.82 m
↓
S 67.331394°
E106.083984°		 ← 941.64 m →
887 018 m²		 S 67.331394°
E106.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794708251953125 y=0.755767822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794708251953125 × 214)
    floor (0.794708251953125 × 16384)
    floor (13020.5)     		tx = 13020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755767822265625 × 214)
    floor (0.755767822265625 × 16384)
    floor (12382.5)     		ty = 12382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13020 / 12382 ti = "14/13020/12382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13020/12382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13020 ÷ 214
    13020 ÷ 16384     		x = 0.794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12382 ÷ 214
    12382 ÷ 16384     		y = 0.7557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794677734375 × 2 - 1) × π
    0.58935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85151481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60684487526428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85151481} λ = 1.85151481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60684487526428))-π/2
    2×atan(0.200519280399689)-π/2
    2×0.197894818028291-π/2
    0.395789636056583-1.57079632675     		φ = -1.17500669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85151481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17500669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.322924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13020 KachelY 12382 1.85151481 -1.17500669 106.083984 -67.322924
    Oben rechts KachelX + 1 13021 KachelY 12382 1.85189831 -1.17500669 106.105957 -67.322924
    Unten links KachelX 13020 KachelY + 1 12383 1.85151481 -1.17515452 106.083984 -67.331394
    Unten rechts KachelX + 1 13021 KachelY + 1 12383 1.85189831 -1.17515452 106.105957 -67.331394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17500669--1.17515452) × R
    0.00014782999999996 × 6371000     		dl = 941.824929999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17500669--1.17515452) × R
    0.00014782999999996 × 6371000     		dr = 941.824929999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85151481-1.85189831) × cos(-1.17500669) × R
    0.00038349999999987 × 0.385536900812288 × 6371000     		do = 941.974020710976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85151481-1.85189831) × cos(-1.17515452) × R
    0.00038349999999987 × 0.385400494979936 × 6371000     		du = 941.640743273516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17500669)-sin(-1.17515452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385536900812288-0.385400494979936)×R²
    abs(1.85189831-1.85151481)×0.00013640583235186×R²
    0.00038349999999987×0.00013640583235186×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013640583235186×40589641000000     		ar = 887017.673232607m²