Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1302 / 767
↖ ↑ ↗
← N 81.100015°
W122.783203°		 ← 755.99 m → N 81.100015°
W122.739258°		 →
↑
756.30 m
↓
↑
756.30 m
↓
N 81.093214°
W122.783203°		 ← 756.56 m →
571 973 m²		 N 81.093214°
W122.739258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15899658203125 y=0.09368896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15899658203125 × 213)
    floor (0.15899658203125 × 8192)
    floor (1302.5)     		tx = 1302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09368896484375 × 213)
    floor (0.09368896484375 × 8192)
    floor (767.5)     		ty = 767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1302 / 767 ti = "13/1302/767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1302/767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1302 ÷ 213
    1302 ÷ 8192     		x = 0.158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 767 ÷ 213
    767 ÷ 8192     		y = 0.0936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.68212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14297116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0936279296875 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55331102136267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14297116} λ = -2.14297116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55331102136267))-π/2
    2×atan(12.8495786556835)-π/2
    2×1.4931293078418-π/2
    2.9862586156836-1.57079632675     		φ = 1.41546229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14297116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41546229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.100015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1302 KachelY 767 -2.14297116 1.41546229 -122.783203 81.100015
    Oben rechts KachelX + 1 1303 KachelY 767 -2.14220417 1.41546229 -122.739258 81.100015
    Unten links KachelX 1302 KachelY + 1 768 -2.14297116 1.41534358 -122.783203 81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 1303 KachelY + 1 768 -2.14220417 1.41534358 -122.739258 81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41546229-1.41534358) × R
    0.000118709999999966 × 6371000     		dl = 756.301409999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41546229-1.41534358) × R
    0.000118709999999966 × 6371000     		dr = 756.301409999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14297116--2.14220417) × cos(1.41546229) × R
    0.000766990000000245 × 0.154710122877156 × 6371000     		do = 755.989977334541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14297116--2.14220417) × cos(1.41534358) × R
    0.000766990000000245 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 756.563063460539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41546229)-sin(1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154710122877156-0.154827402507351)×R²
    abs(-2.14220417--2.14297116)×0.000117279630194395×R²
    0.000766990000000245×0.000117279630194395×6371000²
    0.000766990000000245×0.000117279630194395×40589641000000     		ar = 571972.999396634m²