Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1302 / 315
↖ ↑ ↗
← N 77.039419°
E 48.867188°		 ← 4 383.78 m → N 77.039419°
E 49.042969°		 →
↑
4 390.38 m
↓
↑
4 390.38 m
↓
N 76.999935°
E 48.867188°		 ← 4 396.91 m →
19 275 304 m²		 N 76.999935°
E 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635986328125 y=0.154052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635986328125 × 211)
    floor (0.635986328125 × 2048)
    floor (1302.5)     		tx = 1302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154052734375 × 211)
    floor (0.154052734375 × 2048)
    floor (315.5)     		ty = 315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1302 / 315 ti = "11/1302/315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1302/315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1302 ÷ 211
    1302 ÷ 2048     		x = 0.6357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 315 ÷ 211
    315 ÷ 2048     		y = 0.15380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15380859375 × 2 - 1) × π
    0.6923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17518475715967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85289332} λ = 0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17518475715967))-π/2
    2×atan(8.80381153915112)-π/2
    2×1.45769391621412-π/2
    2.91538783242824-1.57079632675     		φ = 1.34459151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34459151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.039419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1302 KachelY 315 0.85289332 1.34459151 48.867188 77.039419
    Oben rechts KachelX + 1 1303 KachelY 315 0.85596128 1.34459151 49.042969 77.039419
    Unten links KachelX 1302 KachelY + 1 316 0.85289332 1.34390239 48.867188 76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 1303 KachelY + 1 316 0.85596128 1.34390239 49.042969 76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34459151-1.34390239) × R
    0.000689120000000099 × 6371000     		dl = 4390.38352000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34459151-1.34390239) × R
    0.000689120000000099 × 6371000     		dr = 4390.38352000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85289332-0.85596128) × cos(1.34459151) × R
    0.00306796000000009 × 0.224280648230635 × 6371000     		do = 4383.78353062352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85289332-0.85596128) × cos(1.34390239) × R
    0.00306796000000009 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 4396.90886823746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34459151)-sin(1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224280648230635-0.224952159314094)×R²
    abs(0.85596128-0.85289332)×0.00067151108345942×R²
    0.00306796000000009×0.00067151108345942×6371000²
    0.00306796000000009×0.00067151108345942×40589641000000     		ar = 19275304.3638721m²