Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13019 / 12456
↖ ↑ ↗
← S 67.941650°
E106.062012°		 ← 917.55 m → S 67.941650°
E106.083984°		 →
↑
917.42 m
↓
↑
917.42 m
↓
S 67.949900°
E106.062012°		 ← 917.22 m →
841 634 m²		 S 67.949900°
E106.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794647216796875 y=0.760284423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794647216796875 × 214)
    floor (0.794647216796875 × 16384)
    floor (13019.5)     		tx = 13019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760284423828125 × 214)
    floor (0.760284423828125 × 16384)
    floor (12456.5)     		ty = 12456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13019 / 12456 ti = "14/13019/12456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13019/12456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13019 ÷ 214
    13019 ÷ 16384     		x = 0.79461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12456 ÷ 214
    12456 ÷ 16384     		y = 0.76025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79461669921875 × 2 - 1) × π
    0.5892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85113132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85113132} λ = 1.85113132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63522351983936))-π/2
    2×atan(0.194908800446124)-π/2
    2×0.192495417229057-π/2
    0.384990834458114-1.57079632675     		φ = -1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85113132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13019 KachelY 12456 1.85113132 -1.18580549 106.062012 -67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 13020 KachelY 12456 1.85151481 -1.18580549 106.083984 -67.941650
    Unten links KachelX 13019 KachelY + 1 12457 1.85113132 -1.18594949 106.062012 -67.949900
    Unten rechts KachelX + 1 13020 KachelY + 1 12457 1.85151481 -1.18594949 106.083984 -67.949900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18580549--1.18594949) × R
    0.000144000000000144 × 6371000     		dl = 917.424000000918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18580549--1.18594949) × R
    0.000144000000000144 × 6371000     		dr = 917.424000000918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85113132-1.85151481) × cos(-1.18580549) × R
    0.000383490000000153 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 917.550888517875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85113132-1.85151481) × cos(-1.18594949) × R
    0.000383490000000153 × 0.375417180924508 × 6371000     		du = 917.22480885523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18580549)-sin(-1.18594949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375417180924508)×R²
    abs(1.85151481-1.85113132)×0.000133463363098163×R²
    0.000383490000000153×0.000133463363098163×6371000²
    0.000383490000000153×0.000133463363098163×40589641000000     		ar = 841633.631148297m²