Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13008 / 12364
↖ ↑ ↗
← S 67.169955°
E105.820313°		 ← 947.96 m → S 67.169955°
E105.842285°		 →
↑
947.81 m
↓
↑
947.81 m
↓
S 67.178479°
E105.820313°		 ← 947.63 m →
898 335 m²		 S 67.178479°
E105.842285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793975830078125 y=0.754669189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793975830078125 × 214)
    floor (0.793975830078125 × 16384)
    floor (13008.5)     		tx = 13008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754669189453125 × 214)
    floor (0.754669189453125 × 16384)
    floor (12364.5)     		ty = 12364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13008 / 12364 ti = "14/13008/12364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13008/12364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13008 ÷ 214
    13008 ÷ 16384     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12364 ÷ 214
    12364 ÷ 16384     		y = 0.754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.50927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59994196171899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59994196171899))-π/2
    2×atan(0.201908236061546)-π/2
    2×0.19922972707763-π/2
    0.39845945415526-1.57079632675     		φ = -1.17233687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17233687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.169955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13008 KachelY 12364 1.84691287 -1.17233687 105.820313 -67.169955
    Oben rechts KachelX + 1 13009 KachelY 12364 1.84729636 -1.17233687 105.842285 -67.169955
    Unten links KachelX 13008 KachelY + 1 12365 1.84691287 -1.17248564 105.820313 -67.178479
    Unten rechts KachelX + 1 13009 KachelY + 1 12365 1.84729636 -1.17248564 105.842285 -67.178479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17233687--1.17248564) × R
    0.00014877000000002 × 6371000     		dl = 947.813670000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17233687--1.17248564) × R
    0.00014877000000002 × 6371000     		dr = 947.813670000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84729636) × cos(-1.17233687) × R
    0.000383490000000153 × 0.387998946516108 × 6371000     		do = 947.964764632951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84729636) × cos(-1.17248564) × R
    0.000383490000000153 × 0.387861826892005 × 6371000     		du = 947.629751939344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17233687)-sin(-1.17248564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387998946516108-0.387861826892005)×R²
    abs(1.84729636-1.84691287)×0.00013711962410301×R²
    0.000383490000000153×0.00013711962410301×6371000²
    0.000383490000000153×0.00013711962410301×40589641000000     		ar = 898335.199449231m²