Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13006 / 12400
↖ ↑ ↗
← S 67.474922°
E105.776367°		 ← 935.97 m → S 67.474922°
E105.798340°		 →
↑
935.77 m
↓
↑
935.77 m
↓
S 67.483338°
E105.776367°		 ← 935.63 m →
875 696 m²		 S 67.483338°
E105.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793853759765625 y=0.756866455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793853759765625 × 214)
    floor (0.793853759765625 × 16384)
    floor (13006.5)     		tx = 13006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756866455078125 × 214)
    floor (0.756866455078125 × 16384)
    floor (12400.5)     		ty = 12400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13006 / 12400 ti = "14/13006/12400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13006/12400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13006 ÷ 214
    13006 ÷ 16384     		x = 0.7938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12400 ÷ 214
    12400 ÷ 16384     		y = 0.7568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7938232421875 × 2 - 1) × π
    0.587646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84614588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    -0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84614588} λ = 1.84614588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61374778880957))-π/2
    2×atan(0.199139879562679)-π/2
    2×0.196568384335204-π/2
    0.393136768670409-1.57079632675     		φ = -1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84614588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13006 KachelY 12400 1.84614588 -1.17765956 105.776367 -67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 13007 KachelY 12400 1.84652937 -1.17765956 105.798340 -67.474922
    Unten links KachelX 13006 KachelY + 1 12401 1.84614588 -1.17780644 105.776367 -67.483338
    Unten rechts KachelX + 1 13007 KachelY + 1 12401 1.84652937 -1.17780644 105.798340 -67.483338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17765956--1.17780644) × R
    0.00014687999999996 × 6371000     		dl = 935.772479999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17765956--1.17780644) × R
    0.00014687999999996 × 6371000     		dr = 935.772479999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84614588-1.84652937) × cos(-1.17765956) × R
    0.000383490000000153 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 935.965690871302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84614588-1.84652937) × cos(-1.17780644) × R
    0.000383490000000153 × 0.382952085056296 × 6371000     		du = 935.634198071254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17765956)-sin(-1.17780644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.382952085056296)×R²
    abs(1.84652937-1.84614588)×0.000135678942925765×R²
    0.000383490000000153×0.000135678942925765×6371000²
    0.000383490000000153×0.000135678942925765×40589641000000     		ar = 875695.836396287m²