Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13005 / 12392
↖ ↑ ↗
← S 67.407487°
E105.754394°		 ← 938.65 m → S 67.407487°
E105.776367°		 →
↑
938.51 m
↓
↑
938.51 m
↓
S 67.415927°
E105.754394°		 ← 938.31 m →
880 774 m²		 S 67.415927°
E105.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793792724609375 y=0.756378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793792724609375 × 214)
    floor (0.793792724609375 × 16384)
    floor (13005.5)     		tx = 13005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756378173828125 × 214)
    floor (0.756378173828125 × 16384)
    floor (12392.5)     		ty = 12392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13005 / 12392 ti = "14/13005/12392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13005/12392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13005 ÷ 214
    13005 ÷ 16384     		x = 0.79376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12392 ÷ 214
    12392 ÷ 16384     		y = 0.75634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79376220703125 × 2 - 1) × π
    0.5875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84576238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75634765625 × 2 - 1) × π
    -0.5126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84576238} λ = 1.84576238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61067982723389))-π/2
    2×atan(0.199751771211451)-π/2
    2×0.197156866932644-π/2
    0.394313733865289-1.57079632675     		φ = -1.17648259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84576238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.754394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17648259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.407487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13005 KachelY 12392 1.84576238 -1.17648259 105.754394 -67.407487
    Oben rechts KachelX + 1 13006 KachelY 12392 1.84614588 -1.17648259 105.776367 -67.407487
    Unten links KachelX 13005 KachelY + 1 12393 1.84576238 -1.17662990 105.754394 -67.415927
    Unten rechts KachelX + 1 13006 KachelY + 1 12393 1.84614588 -1.17662990 105.776367 -67.415927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17648259--1.17662990) × R
    0.000147310000000012 × 6371000     		dl = 938.512010000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17648259--1.17662990) × R
    0.000147310000000012 × 6371000     		dr = 938.512010000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84576238-1.84614588) × cos(-1.17648259) × R
    0.00038349999999987 × 0.384174679663317 × 6371000     		do = 938.645735065452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84576238-1.84614588) × cos(-1.17662990) × R
    0.00038349999999987 × 0.384038670002012 × 6371000     		du = 938.313425584192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17648259)-sin(-1.17662990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384174679663317-0.384038670002012)×R²
    abs(1.84614588-1.84576238)×0.000136009661305558×R²
    0.00038349999999987×0.000136009661305558×6371000²
    0.00038349999999987×0.000136009661305558×40589641000000     		ar = 880774.35886742m²