Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12994 / 12604
↖ ↑ ↗
← S 69.131271°
E105.512696°		 ← 870.34 m → S 69.131271°
E105.534668°		 →
↑
870.21 m
↓
↑
870.21 m
↓
S 69.139097°
E105.512696°		 ← 870.03 m →
757 249 m²		 S 69.139097°
E105.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793121337890625 y=0.769317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793121337890625 × 214)
    floor (0.793121337890625 × 16384)
    floor (12994.5)     		tx = 12994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769317626953125 × 214)
    floor (0.769317626953125 × 16384)
    floor (12604.5)     		ty = 12604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12994 / 12604 ti = "14/12994/12604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12994/12604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12994 ÷ 214
    12994 ÷ 16384     		x = 0.7930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12604 ÷ 214
    12604 ÷ 16384     		y = 0.769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7930908203125 × 2 - 1) × π
    0.586181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84154394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.53857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6919808089895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84154394} λ = 1.84154394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6919808089895))-π/2
    2×atan(0.184154387813027)-π/2
    2×0.182114013882869-π/2
    0.364228027765738-1.57079632675     		φ = -1.20656830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84154394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.512696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20656830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.131271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12994 KachelY 12604 1.84154394 -1.20656830 105.512696 -69.131271
    Oben rechts KachelX + 1 12995 KachelY 12604 1.84192743 -1.20656830 105.534668 -69.131271
    Unten links KachelX 12994 KachelY + 1 12605 1.84154394 -1.20670489 105.512696 -69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 12995 KachelY + 1 12605 1.84192743 -1.20670489 105.534668 -69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20656830--1.20670489) × R
    0.000136589999999881 × 6371000     		dl = 870.214889999242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20656830--1.20670489) × R
    0.000136589999999881 × 6371000     		dr = 870.214889999242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84154394-1.84192743) × cos(-1.20656830) × R
    0.000383489999999931 × 0.356228069674021 × 6371000     		do = 870.341688440561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84154394-1.84192743) × cos(-1.20670489) × R
    0.000383489999999931 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 870.029853882722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20656830)-sin(-1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356228069674021-0.356100436786763)×R²
    abs(1.84192743-1.84154394)×0.000127632887258144×R²
    0.000383489999999931×0.000127632887258144×6371000²
    0.000383489999999931×0.000127632887258144×40589641000000     		ar = 757248.616308809m²