Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12991 / 12607
↖ ↑ ↗
← S 69.154740°
E105.446777°		 ← 869.43 m → S 69.154740°
E105.468750°		 →
↑
869.26 m
↓
↑
869.26 m
↓
S 69.162558°
E105.446777°		 ← 869.12 m →
755 624 m²		 S 69.162558°
E105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792938232421875 y=0.769500732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792938232421875 × 214)
    floor (0.792938232421875 × 16384)
    floor (12991.5)     		tx = 12991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769500732421875 × 214)
    floor (0.769500732421875 × 16384)
    floor (12607.5)     		ty = 12607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12991 / 12607 ti = "14/12991/12607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12991/12607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12991 ÷ 214
    12991 ÷ 16384     		x = 0.79290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12607 ÷ 214
    12607 ÷ 16384     		y = 0.76947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79290771484375 × 2 - 1) × π
    0.5858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84039345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76947021484375 × 2 - 1) × π
    -0.5389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69313129458038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84039345} λ = 1.84039345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69313129458038))-π/2
    2×atan(0.183942642671573)-π/2
    2×0.181909206362525-π/2
    0.36381841272505-1.57079632675     		φ = -1.20697791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84039345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.446777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20697791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.154740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12991 KachelY 12607 1.84039345 -1.20697791 105.446777 -69.154740
    Oben rechts KachelX + 1 12992 KachelY 12607 1.84077695 -1.20697791 105.468750 -69.154740
    Unten links KachelX 12991 KachelY + 1 12608 1.84039345 -1.20711435 105.446777 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 12992 KachelY + 1 12608 1.84077695 -1.20711435 105.468750 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20697791--1.20711435) × R
    0.000136439999999904 × 6371000     		dl = 869.259239999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20697791--1.20711435) × R
    0.000136439999999904 × 6371000     		dr = 869.259239999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84039345-1.84077695) × cos(-1.20697791) × R
    0.00038349999999987 × 0.355845300610698 × 6371000     		do = 869.429172307861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84039345-1.84077695) × cos(-1.20711435) × R
    0.00038349999999987 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 869.117623478531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20697791)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355845300610698-0.355717787996262)×R²
    abs(1.84077695-1.84039345)×0.000127512614435887×R²
    0.00038349999999987×0.000127512614435887×6371000²
    0.00038349999999987×0.000127512614435887×40589641000000     		ar = 755623.934376514m²