Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12990 / 12266
↖ ↑ ↗
← S 66.319861°
E105.424805°		 ← 981.27 m → S 66.319861°
E105.446777°		 →
↑
981.13 m
↓
↑
981.13 m
↓
S 66.328685°
E105.424805°		 ← 980.92 m →
962 588 m²		 S 66.328685°
E105.446777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792877197265625 y=0.748687744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792877197265625 × 214)
    floor (0.792877197265625 × 16384)
    floor (12990.5)     		tx = 12990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748687744140625 × 214)
    floor (0.748687744140625 × 16384)
    floor (12266.5)     		ty = 12266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12990 / 12266 ti = "14/12990/12266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12990/12266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12990 ÷ 214
    12990 ÷ 16384     		x = 0.7928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12266 ÷ 214
    12266 ÷ 16384     		y = 0.7486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7928466796875 × 2 - 1) × π
    0.585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84000996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56235943241687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84000996} λ = 1.84000996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56235943241687))-π/2
    2×atan(0.209640853788165)-π/2
    2×0.206648192550903-π/2
    0.413296385101807-1.57079632675     		φ = -1.15749994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84000996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15749994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.319861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12990 KachelY 12266 1.84000996 -1.15749994 105.424805 -66.319861
    Oben rechts KachelX + 1 12991 KachelY 12266 1.84039345 -1.15749994 105.446777 -66.319861
    Unten links KachelX 12990 KachelY + 1 12267 1.84000996 -1.15765394 105.424805 -66.328685
    Unten rechts KachelX + 1 12991 KachelY + 1 12267 1.84039345 -1.15765394 105.446777 -66.328685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15749994--1.15765394) × R
    0.00015400000000021 × 6371000     		dl = 981.134000001335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15749994--1.15765394) × R
    0.00015400000000021 × 6371000     		dr = 981.134000001335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84000996-1.84039345) × cos(-1.15749994) × R
    0.000383490000000153 × 0.401630341803429 × 6371000     		do = 981.269191207284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84000996-1.84039345) × cos(-1.15765394) × R
    0.000383490000000153 × 0.401489303553184 × 6371000     		du = 980.924604468329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15749994)-sin(-1.15765394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401630341803429-0.401489303553184)×R²
    abs(1.84039345-1.84000996)×0.000141038250245196×R²
    0.000383490000000153×0.000141038250245196×6371000²
    0.000383490000000153×0.000141038250245196×40589641000000     		ar = 962587.525666673m²