Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1299 / 783
↖ ↑ ↗
← N 80.990573°
W122.915039°		 ← 765.21 m → N 80.990573°
W122.871094°		 →
↑
765.54 m
↓
↑
765.54 m
↓
N 80.983688°
W122.915039°		 ← 765.79 m →
586 020 m²		 N 80.983688°
W122.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15863037109375 y=0.09564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15863037109375 × 213)
    floor (0.15863037109375 × 8192)
    floor (1299.5)     		tx = 1299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09564208984375 × 213)
    floor (0.09564208984375 × 8192)
    floor (783.5)     		ty = 783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1299 / 783 ti = "13/1299/783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1299/783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1299 ÷ 213
    1299 ÷ 8192     		x = 0.1585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 783 ÷ 213
    783 ÷ 8192     		y = 0.0955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14527213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955810546875 × 2 - 1) × π
    0.808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54103917505994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14527213} λ = -2.14527213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54103917505994))-π/2
    2×atan(12.6928542173391)-π/2
    2×1.49217424102586-π/2
    2.98434848205173-1.57079632675     		φ = 1.41355216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14527213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41355216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.990573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1299 KachelY 783 -2.14527213 1.41355216 -122.915039 80.990573
    Oben rechts KachelX + 1 1300 KachelY 783 -2.14450514 1.41355216 -122.871094 80.990573
    Unten links KachelX 1299 KachelY + 1 784 -2.14527213 1.41343200 -122.915039 80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 1300 KachelY + 1 784 -2.14450514 1.41343200 -122.871094 80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41355216-1.41343200) × R
    0.000120160000000036 × 6371000     		dl = 765.539360000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41355216-1.41343200) × R
    0.000120160000000036 × 6371000     		dr = 765.539360000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14527213--2.14450514) × cos(1.41355216) × R
    0.000766989999999801 × 0.156596971349459 × 6371000     		do = 765.210049733257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14527213--2.14450514) × cos(1.41343200) × R
    0.000766989999999801 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 765.789961194036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41355216)-sin(1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156596971349459-0.156715647755291)×R²
    abs(-2.14450514--2.14527213)×0.000118676405832102×R²
    0.000766989999999801×0.000118676405832102×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118676405832102×40589641000000     		ar = 586020.384966968m²