Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1299 / 317
↖ ↑ ↗
← N 76.960333°
E 48.339844°		 ← 4 410.07 m → N 76.960333°
E 48.515625°		 →
↑
4 416.63 m
↓
↑
4 416.63 m
↓
N 76.920614°
E 48.339844°		 ← 4 423.27 m →
19 506 812 m²		 N 76.920614°
E 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634521484375 y=0.155029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634521484375 × 211)
    floor (0.634521484375 × 2048)
    floor (1299.5)     		tx = 1299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155029296875 × 211)
    floor (0.155029296875 × 2048)
    floor (317.5)     		ty = 317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1299 / 317 ti = "11/1299/317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1299/317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1299 ÷ 211
    1299 ÷ 2048     		x = 0.63427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 317 ÷ 211
    317 ÷ 2048     		y = 0.15478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84368943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15478515625 × 2 - 1) × π
    0.6904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1690488340083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84368943} λ = 0.84368943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1690488340083))-π/2
    2×atan(8.74995741944291)-π/2
    2×1.45700377066474-π/2
    2.91400754132947-1.57079632675     		φ = 1.34321121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84368943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34321121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1299 KachelY 317 0.84368943 1.34321121 48.339844 76.960333
    Oben rechts KachelX + 1 1300 KachelY 317 0.84675739 1.34321121 48.515625 76.960333
    Unten links KachelX 1299 KachelY + 1 318 0.84368943 1.34251797 48.339844 76.920614
    Unten rechts KachelX + 1 1300 KachelY + 1 318 0.84675739 1.34251797 48.515625 76.920614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34321121-1.34251797) × R
    0.000693239999999928 × 6371000     		dl = 4416.63203999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34321121-1.34251797) × R
    0.000693239999999928 × 6371000     		dr = 4416.63203999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84368943-0.84675739) × cos(1.34321121) × R
    0.00306796000000009 × 0.225625570452356 × 6371000     		do = 4410.07134427157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84368943-0.84675739) × cos(1.34251797) × R
    0.00306796000000009 × 0.226300880361387 × 6371000     		du = 4423.27093362818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34321121)-sin(1.34251797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225625570452356-0.226300880361387)×R²
    abs(0.84675739-0.84368943)×0.000675309909031502×R²
    0.00306796000000009×0.000675309909031502×6371000²
    0.00306796000000009×0.000675309909031502×40589641000000     		ar = 19506812.0436554m²