Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12989 / 12404
↖ ↑ ↗
← S 67.508568°
E105.402832°		 ← 934.66 m → S 67.508568°
E105.424805°		 →
↑
934.50 m
↓
↑
934.50 m
↓
S 67.516972°
E105.402832°		 ← 934.33 m →
873 288 m²		 S 67.516972°
E105.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792816162109375 y=0.757110595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792816162109375 × 214)
    floor (0.792816162109375 × 16384)
    floor (12989.5)     		tx = 12989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757110595703125 × 214)
    floor (0.757110595703125 × 16384)
    floor (12404.5)     		ty = 12404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12989 / 12404 ti = "14/12989/12404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12989/12404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12989 ÷ 214
    12989 ÷ 16384     		x = 0.79278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12404 ÷ 214
    12404 ÷ 16384     		y = 0.757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79278564453125 × 2 - 1) × π
    0.5855712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83962646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83962646} λ = 1.83962646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61528176959741))-π/2
    2×atan(0.198834636991312)-π/2
    2×0.196274767785801-π/2
    0.392549535571601-1.57079632675     		φ = -1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83962646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12989 KachelY 12404 1.83962646 -1.17824679 105.402832 -67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 12990 KachelY 12404 1.84000996 -1.17824679 105.424805 -67.508568
    Unten links KachelX 12989 KachelY + 1 12405 1.83962646 -1.17839347 105.402832 -67.516972
    Unten rechts KachelX + 1 12990 KachelY + 1 12405 1.84000996 -1.17839347 105.424805 -67.516972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17824679--1.17839347) × R
    0.000146680000000066 × 6371000     		dl = 934.498280000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17824679--1.17839347) × R
    0.000146680000000066 × 6371000     		dr = 934.498280000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83962646-1.84000996) × cos(-1.17824679) × R
    0.00038349999999987 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 934.664625186283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83962646-1.84000996) × cos(-1.17839347) × R
    0.00038349999999987 × 0.382409739453345 × 6371000     		du = 934.333494596642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17824679)-sin(-1.17839347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382409739453345)×R²
    abs(1.84000996-1.83962646)×0.000135527157317961×R²
    0.00038349999999987×0.000135527157317961×6371000²
    0.00038349999999987×0.000135527157317961×40589641000000     		ar = 873287.765697173m²