Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12986 / 12611
↖ ↑ ↗
← S 69.185993°
E105.336914°		 ← 868.18 m → S 69.185993°
E105.358887°		 →
↑
868.05 m
↓
↑
868.05 m
↓
S 69.193800°
E105.336914°		 ← 867.87 m →
753 491 m²		 S 69.193800°
E105.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792633056640625 y=0.769744873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792633056640625 × 214)
    floor (0.792633056640625 × 16384)
    floor (12986.5)     		tx = 12986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769744873046875 × 214)
    floor (0.769744873046875 × 16384)
    floor (12611.5)     		ty = 12611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12986 / 12611 ti = "14/12986/12611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12986/12611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12986 ÷ 214
    12986 ÷ 16384     		x = 0.7926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12611 ÷ 214
    12611 ÷ 16384     		y = 0.76971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7926025390625 × 2 - 1) × π
    0.585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83847597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.5394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69466527536823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83847597} λ = 1.83847597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69466527536823))-π/2
    2×atan(0.183660694498478)-π/2
    2×0.181636471990836-π/2
    0.363272943981672-1.57079632675     		φ = -1.20752338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83847597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20752338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.185993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12986 KachelY 12611 1.83847597 -1.20752338 105.336914 -69.185993
    Oben rechts KachelX + 1 12987 KachelY 12611 1.83885947 -1.20752338 105.358887 -69.185993
    Unten links KachelX 12986 KachelY + 1 12612 1.83847597 -1.20765963 105.336914 -69.193800
    Unten rechts KachelX + 1 12987 KachelY + 1 12612 1.83885947 -1.20765963 105.358887 -69.193800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20752338--1.20765963) × R
    0.000136249999999949 × 6371000     		dl = 868.048749999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20752338--1.20765963) × R
    0.000136249999999949 × 6371000     		dr = 868.048749999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83847597-1.83885947) × cos(-1.20752338) × R
    0.000383500000000092 × 0.355335481504743 × 6371000     		do = 868.183542247896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83847597-1.83885947) × cos(-1.20765963) × R
    0.000383500000000092 × 0.355208120040202 × 6371000     		du = 867.872362719853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20752338)-sin(-1.20765963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355335481504743-0.355208120040202)×R²
    abs(1.83885947-1.83847597)×0.00012736146454162×R²
    0.000383500000000092×0.00012736146454162×6371000²
    0.000383500000000092×0.00012736146454162×40589641000000     		ar = 753490.580285288m²