Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12985 / 12405
↖ ↑ ↗
← S 67.516972°
E105.314941°		 ← 934.31 m → S 67.516972°
E105.336914°		 →
↑
934.18 m
↓
↑
934.18 m
↓
S 67.525374°
E105.314941°		 ← 933.98 m →
872 658 m²		 S 67.525374°
E105.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792572021484375 y=0.757171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792572021484375 × 214)
    floor (0.792572021484375 × 16384)
    floor (12985.5)     		tx = 12985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757171630859375 × 214)
    floor (0.757171630859375 × 16384)
    floor (12405.5)     		ty = 12405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12985 / 12405 ti = "14/12985/12405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12985/12405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12985 ÷ 214
    12985 ÷ 16384     		x = 0.79254150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12405 ÷ 214
    12405 ÷ 16384     		y = 0.75714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79254150390625 × 2 - 1) × π
    0.5850830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83809248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.5142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61566526479437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83809248} λ = 1.83809248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61566526479437))-π/2
    2×atan(0.198758399482331)-π/2
    2×0.196201428643822-π/2
    0.392402857287644-1.57079632675     		φ = -1.17839347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83809248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.314941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17839347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.516972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12985 KachelY 12405 1.83809248 -1.17839347 105.314941 -67.516972
    Oben rechts KachelX + 1 12986 KachelY 12405 1.83847597 -1.17839347 105.336914 -67.516972
    Unten links KachelX 12985 KachelY + 1 12406 1.83809248 -1.17854010 105.314941 -67.525374
    Unten rechts KachelX + 1 12986 KachelY + 1 12406 1.83847597 -1.17854010 105.336914 -67.525374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17839347--1.17854010) × R
    0.000146629999999925 × 6371000     		dl = 934.179729999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17839347--1.17854010) × R
    0.000146629999999925 × 6371000     		dr = 934.179729999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83809248-1.83847597) × cos(-1.17839347) × R
    0.000383489999999931 × 0.382409739453345 × 6371000     		do = 934.30913127229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83809248-1.83847597) × cos(-1.17854010) × R
    0.000383489999999931 × 0.382274250270919 × 6371000     		du = 933.978102097902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17839347)-sin(-1.17854010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382409739453345-0.382274250270919)×R²
    abs(1.83847597-1.83809248)×0.000135489182425619×R²
    0.000383489999999931×0.000135489182425619×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135489182425619×40589641000000     		ar = 872658.03317889m²