Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12982 / 12395
↖ ↑ ↗
← S 67.432798°
E105.249023°		 ← 937.65 m → S 67.432798°
E105.270996°		 →
↑
937.43 m
↓
↑
937.43 m
↓
S 67.441229°
E105.249023°		 ← 937.32 m →
878 824 m²		 S 67.441229°
E105.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792388916015625 y=0.756561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792388916015625 × 214)
    floor (0.792388916015625 × 16384)
    floor (12982.5)     		tx = 12982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756561279296875 × 214)
    floor (0.756561279296875 × 16384)
    floor (12395.5)     		ty = 12395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12982 / 12395 ti = "14/12982/12395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12982/12395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12982 ÷ 214
    12982 ÷ 16384     		x = 0.7923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12395 ÷ 214
    12395 ÷ 16384     		y = 0.75653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7923583984375 × 2 - 1) × π
    0.584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83694199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5130615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61183031282477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83694199} λ = 1.83694199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61183031282477))-π/2
    2×atan(0.199522091823666)-π/2
    2×0.196935990552694-π/2
    0.393871981105389-1.57079632675     		φ = -1.17692435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83694199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.249023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17692435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.432798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12982 KachelY 12395 1.83694199 -1.17692435 105.249023 -67.432798
    Oben rechts KachelX + 1 12983 KachelY 12395 1.83732549 -1.17692435 105.270996 -67.432798
    Unten links KachelX 12982 KachelY + 1 12396 1.83694199 -1.17707149 105.249023 -67.441229
    Unten rechts KachelX + 1 12983 KachelY + 1 12396 1.83732549 -1.17707149 105.270996 -67.441229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17692435--1.17707149) × R
    0.000147140000000157 × 6371000     		dl = 937.428940000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17692435--1.17707149) × R
    0.000147140000000157 × 6371000     		dr = 937.428940000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83694199-1.83732549) × cos(-1.17692435) × R
    0.000383500000000092 × 0.383766782664277 × 6371000     		do = 937.649129098026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83694199-1.83732549) × cos(-1.17707149) × R
    0.000383500000000092 × 0.383630905012957 × 6371000     		du = 937.317142153926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17692435)-sin(-1.17707149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383766782664277-0.383630905012957)×R²
    abs(1.83732549-1.83694199)×0.000135877651319394×R²
    0.000383500000000092×0.000135877651319394×6371000²
    0.000383500000000092×0.000135877651319394×40589641000000     		ar = 878823.823684109m²