Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1298 / 829
↖ ↑ ↗
← N 80.668436°
W122.958984°		 ← 792.33 m → N 80.668436°
W122.915039°		 →
↑
792.62 m
↓
↑
792.62 m
↓
N 80.661308°
W122.958984°		 ← 792.93 m →
628 253 m²		 N 80.661308°
W122.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15850830078125 y=0.10125732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15850830078125 × 213)
    floor (0.15850830078125 × 8192)
    floor (1298.5)     		tx = 1298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10125732421875 × 213)
    floor (0.10125732421875 × 8192)
    floor (829.5)     		ty = 829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1298 / 829 ti = "13/1298/829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1298/829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1298 ÷ 213
    1298 ÷ 8192     		x = 0.158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 829 ÷ 213
    829 ÷ 8192     		y = 0.1011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.68310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14603912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1011962890625 × 2 - 1) × π
    0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14603912} λ = -2.14603912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50575761693958))-π/2
    2×atan(12.2528384081617)-π/2
    2×1.48936306779304-π/2
    2.97872613558607-1.57079632675     		φ = 1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14603912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1298 KachelY 829 -2.14603912 1.40792981 -122.958984 80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 1299 KachelY 829 -2.14527213 1.40792981 -122.915039 80.668436
    Unten links KachelX 1298 KachelY + 1 830 -2.14603912 1.40780540 -122.958984 80.661308
    Unten rechts KachelX + 1 1299 KachelY + 1 830 -2.14527213 1.40780540 -122.915039 80.661308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40792981-1.40780540) × R
    0.000124409999999964 × 6371000     		dl = 792.616109999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40792981-1.40780540) × R
    0.000124409999999964 × 6371000     		dr = 792.616109999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14603912--2.14527213) × cos(1.40792981) × R
    0.000766990000000245 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 792.332435089366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14603912--2.14527213) × cos(1.40780540) × R
    0.000766990000000245 × 0.162270214145036 × 6371000     		du = 792.932312586837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40792981)-sin(1.40780540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.162270214145036)×R²
    abs(-2.14527213--2.14603912)×0.000122762370041274×R²
    0.000766990000000245×0.000122762370041274×6371000²
    0.000766990000000245×0.000122762370041274×40589641000000     		ar = 628253.189620693m²