Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1298 / 685
↖ ↑ ↗
← N 81.640540°
W122.958984°		 ← 710.41 m → N 81.640540°
W122.915039°		 →
↑
710.69 m
↓
↑
710.69 m
↓
N 81.634149°
W122.958984°		 ← 710.95 m →
505 072 m²		 N 81.634149°
W122.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15850830078125 y=0.08367919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15850830078125 × 213)
    floor (0.15850830078125 × 8192)
    floor (1298.5)     		tx = 1298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08367919921875 × 213)
    floor (0.08367919921875 × 8192)
    floor (685.5)     		ty = 685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1298 / 685 ti = "13/1298/685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1298/685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1298 ÷ 213
    1298 ÷ 8192     		x = 0.158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 685 ÷ 213
    685 ÷ 8192     		y = 0.0836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.68310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14603912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0836181640625 × 2 - 1) × π
    0.832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61620423366418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14603912} λ = -2.14603912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61620423366418))-π/2
    2×atan(13.6836848138841)-π/2
    2×1.49784627856355-π/2
    2.9956925571271-1.57079632675     		φ = 1.42489623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14603912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42489623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.640540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1298 KachelY 685 -2.14603912 1.42489623 -122.958984 81.640540
    Oben rechts KachelX + 1 1299 KachelY 685 -2.14527213 1.42489623 -122.915039 81.640540
    Unten links KachelX 1298 KachelY + 1 686 -2.14603912 1.42478468 -122.958984 81.634149
    Unten rechts KachelX + 1 1299 KachelY + 1 686 -2.14527213 1.42478468 -122.915039 81.634149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42489623-1.42478468) × R
    0.000111550000000182 × 6371000     		dl = 710.685050001162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42489623-1.42478468) × R
    0.000111550000000182 × 6371000     		dr = 710.685050001162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14603912--2.14527213) × cos(1.42489623) × R
    0.000766990000000245 × 0.145383022152651 × 6371000     		do = 710.413162229079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14603912--2.14527213) × cos(1.42478468) × R
    0.000766990000000245 × 0.145493386079104 × 6371000     		du = 710.952454815148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42489623)-sin(1.42478468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145383022152651-0.145493386079104)×R²
    abs(-2.14527213--2.14603912)×0.000110363926452695×R²
    0.000766990000000245×0.000110363926452695×6371000²
    0.000766990000000245×0.000110363926452695×40589641000000     		ar = 505071.647832847m²