Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12976 / 12526
↖ ↑ ↗
← S 68.512143°
E105.117187°		 ← 894.98 m → S 68.512143°
E105.139160°		 →
↑
894.81 m
↓
↑
894.81 m
↓
S 68.520191°
E105.117187°		 ← 894.66 m →
800 694 m²		 S 68.520191°
E105.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792022705078125 y=0.764556884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792022705078125 × 214)
    floor (0.792022705078125 × 16384)
    floor (12976.5)     		tx = 12976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764556884765625 × 214)
    floor (0.764556884765625 × 16384)
    floor (12526.5)     		ty = 12526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12976 / 12526 ti = "14/12976/12526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12976/12526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12976 ÷ 214
    12976 ÷ 16384     		x = 0.7919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12526 ÷ 214
    12526 ÷ 16384     		y = 0.7645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83464102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66206818362659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83464102} λ = 1.83464102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66206818362659))-π/2
    2×atan(0.189746144144571)-π/2
    2×0.187516924152415-π/2
    0.37503384830483-1.57079632675     		φ = -1.19576248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83464102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.117187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19576248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.512143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12976 KachelY 12526 1.83464102 -1.19576248 105.117187 -68.512143
    Oben rechts KachelX + 1 12977 KachelY 12526 1.83502452 -1.19576248 105.139160 -68.512143
    Unten links KachelX 12976 KachelY + 1 12527 1.83464102 -1.19590293 105.117187 -68.520191
    Unten rechts KachelX + 1 12977 KachelY + 1 12527 1.83502452 -1.19590293 105.139160 -68.520191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19576248--1.19590293) × R
    0.000140449999999959 × 6371000     		dl = 894.806949999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19576248--1.19590293) × R
    0.000140449999999959 × 6371000     		dr = 894.806949999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83464102-1.83502452) × cos(-1.19576248) × R
    0.00038349999999987 × 0.366304023576868 × 6371000     		do = 894.982745268552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83464102-1.83502452) × cos(-1.19590293) × R
    0.00038349999999987 × 0.366173331910161 × 6371000     		du = 894.663429129158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19576248)-sin(-1.19590293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366304023576868-0.366173331910161)×R²
    abs(1.83502452-1.83464102)×0.000130691666706761×R²
    0.00038349999999987×0.000130691666706761×6371000²
    0.00038349999999987×0.000130691666706761×40589641000000     		ar = 800693.918760498m²