Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12976 / 12525
↖ ↑ ↗
← S 68.504093°
E105.117187°		 ← 895.30 m → S 68.504093°
E105.139160°		 →
↑
895.13 m
↓
↑
895.13 m
↓
S 68.512143°
E105.117187°		 ← 894.98 m →
801 265 m²		 S 68.512143°
E105.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792022705078125 y=0.764495849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792022705078125 × 214)
    floor (0.792022705078125 × 16384)
    floor (12976.5)     		tx = 12976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764495849609375 × 214)
    floor (0.764495849609375 × 16384)
    floor (12525.5)     		ty = 12525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12976 / 12525 ti = "14/12976/12525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12976/12525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12976 ÷ 214
    12976 ÷ 16384     		x = 0.7919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12525 ÷ 214
    12525 ÷ 16384     		y = 0.76446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83464102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.5289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66168468842963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83464102} λ = 1.83464102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66168468842963))-π/2
    2×atan(0.189818924834123)-π/2
    2×0.187587174602644-π/2
    0.375174349205287-1.57079632675     		φ = -1.19562198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83464102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.117187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19562198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.504093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12976 KachelY 12525 1.83464102 -1.19562198 105.117187 -68.504093
    Oben rechts KachelX + 1 12977 KachelY 12525 1.83502452 -1.19562198 105.139160 -68.504093
    Unten links KachelX 12976 KachelY + 1 12526 1.83464102 -1.19576248 105.117187 -68.512143
    Unten rechts KachelX + 1 12977 KachelY + 1 12526 1.83502452 -1.19576248 105.139160 -68.512143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19562198--1.19576248) × R
    0.000140499999999877 × 6371000     		dl = 895.125499999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19562198--1.19576248) × R
    0.000140499999999877 × 6371000     		dr = 895.125499999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83464102-1.83502452) × cos(-1.19562198) × R
    0.00038349999999987 × 0.366434754539976 × 6371000     		do = 895.302157419996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83464102-1.83502452) × cos(-1.19576248) × R
    0.00038349999999987 × 0.366304023576868 × 6371000     		du = 894.982745268552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19562198)-sin(-1.19576248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366434754539976-0.366304023576868)×R²
    abs(1.83502452-1.83464102)×0.000130730963107339×R²
    0.00038349999999987×0.000130730963107339×6371000²
    0.00038349999999987×0.000130730963107339×40589641000000     		ar = 801264.835649007m²