Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1296 / 720
↖ ↑ ↗
← N 81.413933°
W123.046875°		 ← 729.53 m → N 81.413933°
W123.002930°		 →
↑
729.80 m
↓
↑
729.80 m
↓
N 81.407370°
W123.046875°		 ← 730.08 m →
532 610 m²		 N 81.407370°
W123.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15826416015625 y=0.08795166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15826416015625 × 213)
    floor (0.15826416015625 × 8192)
    floor (1296.5)     		tx = 1296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08795166015625 × 213)
    floor (0.08795166015625 × 8192)
    floor (720.5)     		ty = 720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1296 / 720 ti = "13/1296/720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1296/720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1296 ÷ 213
    1296 ÷ 8192     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 720 ÷ 213
    720 ÷ 8192     		y = 0.087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087890625 × 2 - 1) × π
    0.82421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58935956987695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58935956987695))-π/2
    2×atan(13.3212375489521)-π/2
    2×1.4958687597843-π/2
    2.99173751956859-1.57079632675     		φ = 1.42094119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42094119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.413933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1296 KachelY 720 -2.14757310 1.42094119 -123.046875 81.413933
    Oben rechts KachelX + 1 1297 KachelY 720 -2.14680611 1.42094119 -123.002930 81.413933
    Unten links KachelX 1296 KachelY + 1 721 -2.14757310 1.42082664 -123.046875 81.407370
    Unten rechts KachelX + 1 1297 KachelY + 1 721 -2.14680611 1.42082664 -123.002930 81.407370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42094119-1.42082664) × R
    0.000114549999999936 × 6371000     		dl = 729.798049999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42094119-1.42082664) × R
    0.000114549999999936 × 6371000     		dr = 729.798049999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14680611) × cos(1.42094119) × R
    0.000766989999999801 × 0.149294894358631 × 6371000     		do = 729.528499514521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14680611) × cos(1.42082664) × R
    0.000766989999999801 × 0.149408159584459 × 6371000     		du = 730.08196928052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42094119)-sin(1.42082664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149294894358631-0.149408159584459)×R²
    abs(-2.14680611--2.14757310)×0.000113265225828107×R²
    0.000766989999999801×0.000113265225828107×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113265225828107×40589641000000     		ar = 532610.437524989m²