Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12949 / 12366
↖ ↑ ↗
← S 67.187000°
E104.523926°		 ← 947.32 m → S 67.187000°
E104.545899°		 →
↑
947.11 m
↓
↑
947.11 m
↓
S 67.195517°
E104.523926°		 ← 946.98 m →
897 060 m²		 S 67.195517°
E104.545899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790374755859375 y=0.754791259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790374755859375 × 214)
    floor (0.790374755859375 × 16384)
    floor (12949.5)     		tx = 12949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754791259765625 × 214)
    floor (0.754791259765625 × 16384)
    floor (12366.5)     		ty = 12366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12949 / 12366 ti = "14/12949/12366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12949/12366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12949 ÷ 214
    12949 ÷ 16384     		x = 0.79034423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12366 ÷ 214
    12366 ÷ 16384     		y = 0.7547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79034423828125 × 2 - 1) × π
    0.5806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.82428665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60070895211291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82428665} λ = 1.82428665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60070895211291))-π/2
    2×atan(0.201753433757562)-π/2
    2×0.199080983928118-π/2
    0.398161967856237-1.57079632675     		φ = -1.17263436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82428665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17263436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.187000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12949 KachelY 12366 1.82428665 -1.17263436 104.523926 -67.187000
    Oben rechts KachelX + 1 12950 KachelY 12366 1.82467015 -1.17263436 104.545899 -67.187000
    Unten links KachelX 12949 KachelY + 1 12367 1.82428665 -1.17278302 104.523926 -67.195517
    Unten rechts KachelX + 1 12950 KachelY + 1 12367 1.82467015 -1.17278302 104.545899 -67.195517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17263436--1.17278302) × R
    0.000148660000000023 × 6371000     		dl = 947.112860000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17263436--1.17278302) × R
    0.000148660000000023 × 6371000     		dr = 947.112860000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82428665-1.82467015) × cos(-1.17263436) × R
    0.000383500000000092 × 0.387724744772306 × 6371000     		do = 947.319532820389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82428665-1.82467015) × cos(-1.17278302) × R
    0.000383500000000092 × 0.387587709387021 × 6371000     		du = 946.984717209784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17263436)-sin(-1.17278302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387724744772306-0.387587709387021)×R²
    abs(1.82467015-1.82428665)×0.000137035385284479×R²
    0.000383500000000092×0.000137035385284479×6371000²
    0.000383500000000092×0.000137035385284479×40589641000000     		ar = 897059.959631267m²