Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12941 / 12465
↖ ↑ ↗
← S 68.015798°
E104.348145°		 ← 914.64 m → S 68.015798°
E104.370117°		 →
↑
914.43 m
↓
↑
914.43 m
↓
S 68.024022°
E104.348145°		 ← 914.32 m →
836 229 m²		 S 68.024022°
E104.370117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789886474609375 y=0.760833740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789886474609375 × 214)
    floor (0.789886474609375 × 16384)
    floor (12941.5)     		tx = 12941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760833740234375 × 214)
    floor (0.760833740234375 × 16384)
    floor (12465.5)     		ty = 12465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12941 / 12465 ti = "14/12941/12465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12941/12465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12941 ÷ 214
    12941 ÷ 16384     		x = 0.78985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12465 ÷ 214
    12465 ÷ 16384     		y = 0.76080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78985595703125 × 2 - 1) × π
    0.5797119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.82121869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.5216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.638674976612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82121869} λ = 1.82121869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.638674976612))-π/2
    2×atan(0.194237240743085)-π/2
    2×0.191848354475785-π/2
    0.38369670895157-1.57079632675     		φ = -1.18709962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82121869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.348145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18709962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.015798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12941 KachelY 12465 1.82121869 -1.18709962 104.348145 -68.015798
    Oben rechts KachelX + 1 12942 KachelY 12465 1.82160219 -1.18709962 104.370117 -68.015798
    Unten links KachelX 12941 KachelY + 1 12466 1.82121869 -1.18724315 104.348145 -68.024022
    Unten rechts KachelX + 1 12942 KachelY + 1 12466 1.82160219 -1.18724315 104.370117 -68.024022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18709962--1.18724315) × R
    0.000143530000000114 × 6371000     		dl = 914.429630000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18709962--1.18724315) × R
    0.000143530000000114 × 6371000     		dr = 914.429630000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82121869-1.82160219) × cos(-1.18709962) × R
    0.00038349999999987 × 0.374350928032353 × 6371000     		do = 914.643573916185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82121869-1.82160219) × cos(-1.18724315) × R
    0.00038349999999987 × 0.374217830658067 × 6371000     		du = 914.318379963185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18709962)-sin(-1.18724315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374350928032353-0.374217830658067)×R²
    abs(1.82160219-1.82121869)×0.000133097374286295×R²
    0.00038349999999987×0.000133097374286295×6371000²
    0.00038349999999987×0.000133097374286295×40589641000000     		ar = 836228.502821395m²