Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12934 / 12462
↖ ↑ ↗
← S 67.991108°
E104.194336°		 ← 915.62 m → S 67.991108°
E104.216309°		 →
↑
915.45 m
↓
↑
915.45 m
↓
S 67.999341°
E104.194336°		 ← 915.29 m →
838 054 m²		 S 67.999341°
E104.216309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789459228515625 y=0.760650634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789459228515625 × 214)
    floor (0.789459228515625 × 16384)
    floor (12934.5)     		tx = 12934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760650634765625 × 214)
    floor (0.760650634765625 × 16384)
    floor (12462.5)     		ty = 12462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12934 / 12462 ti = "14/12934/12462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12934/12462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12934 ÷ 214
    12934 ÷ 16384     		x = 0.7894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12462 ÷ 214
    12462 ÷ 16384     		y = 0.7606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7894287109375 × 2 - 1) × π
    0.578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81853422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63752449102112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81853422} λ = 1.81853422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63752449102112))-π/2
    2×atan(0.19446083648695)-π/2
    2×0.192063812052507-π/2
    0.384127624105015-1.57079632675     		φ = -1.18666870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81853422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18666870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.991108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12934 KachelY 12462 1.81853422 -1.18666870 104.194336 -67.991108
    Oben rechts KachelX + 1 12935 KachelY 12462 1.81891772 -1.18666870 104.216309 -67.991108
    Unten links KachelX 12934 KachelY + 1 12463 1.81853422 -1.18681239 104.194336 -67.999341
    Unten rechts KachelX + 1 12935 KachelY + 1 12463 1.81891772 -1.18681239 104.216309 -67.999341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18666870--1.18681239) × R
    0.00014369000000003 × 6371000     		dl = 915.448990000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18666870--1.18681239) × R
    0.00014369000000003 × 6371000     		dr = 915.448990000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81853422-1.81891772) × cos(-1.18666870) × R
    0.00038349999999987 × 0.37475047982404 × 6371000     		do = 915.619790218451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81853422-1.81891772) × cos(-1.18681239) × R
    0.00038349999999987 × 0.374617257262857 × 6371000     		du = 915.294290398998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18666870)-sin(-1.18681239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37475047982404-0.374617257262857)×R²
    abs(1.81891772-1.81853422)×0.000133222561182644×R²
    0.00038349999999987×0.000133222561182644×6371000²
    0.00038349999999987×0.000133222561182644×40589641000000     		ar = 838054.224381896m²