Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12929 / 3461
↖ ↑ ↗
← N 80.406557°
W 37.957764°		 ← 203.58 m → N 80.406557°
W 37.946778°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 80.404726°
W 37.957764°		 ← 203.62 m →
41 457 m²		 N 80.404726°
W 37.946778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394577026367188 y=0.105636596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394577026367188 × 215)
    floor (0.394577026367188 × 32768)
    floor (12929.5)     		tx = 12929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105636596679688 × 215)
    floor (0.105636596679688 × 32768)
    floor (3461.5)     		ty = 3461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12929 / 3461 ti = "15/12929/3461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12929/3461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12929 ÷ 215
    12929 ÷ 32768     		x = 0.394561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3461 ÷ 215
    3461 ÷ 32768     		y = 0.105621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.21087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66248795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105621337890625 × 2 - 1) × π
    0.78875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47795421515994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66248795} λ = -0.66248795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47795421515994))-π/2
    2×atan(11.9168601316028)-π/2
    2×1.4870777440815-π/2
    2.974155488163-1.57079632675     		φ = 1.40335916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66248795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40335916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.406557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12929 KachelY 3461 -0.66248795 1.40335916 -37.957764 80.406557
    Oben rechts KachelX + 1 12930 KachelY 3461 -0.66229621 1.40335916 -37.946778 80.406557
    Unten links KachelX 12929 KachelY + 1 3462 -0.66248795 1.40332720 -37.957764 80.404726
    Unten rechts KachelX + 1 12930 KachelY + 1 3462 -0.66229621 1.40332720 -37.946778 80.404726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40335916-1.40332720) × R
    3.1959999999831e-05 × 6371000     		dl = 203.617159998923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40335916-1.40332720) × R
    3.1959999999831e-05 × 6371000     		dr = 203.617159998923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66248795--0.66229621) × cos(1.40335916) × R
    0.000191739999999996 × 0.166655906860793 × 6371000     		do = 203.582779417659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66248795--0.66229621) × cos(1.40332720) × R
    0.000191739999999996 × 0.166687419818776 × 6371000     		du = 203.621274876324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40335916)-sin(1.40332720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166655906860793-0.166687419818776)×R²
    abs(-0.66229621--0.66248795)×3.15129579827877e-05×R²
    0.000191739999999996×3.15129579827877e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.15129579827877e-05×40589641000000     		ar = 41456.8665413826m²