Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12928 / 3460
↖ ↑ ↗
← N 80.408388°
W 37.968750°		 ← 203.55 m → N 80.408388°
W 37.957764°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
N 80.406557°
W 37.968750°		 ← 203.59 m →
41 438 m²		 N 80.406557°
W 37.957764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394546508789062 y=0.105606079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394546508789062 × 215)
    floor (0.394546508789062 × 32768)
    floor (12928.5)     		tx = 12928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105606079101562 × 215)
    floor (0.105606079101562 × 32768)
    floor (3460.5)     		ty = 3460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12928 / 3460 ti = "15/12928/3460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12928/3460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12928 ÷ 215
    12928 ÷ 32768     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3460 ÷ 215
    3460 ÷ 32768     		y = 0.1055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1055908203125 × 2 - 1) × π
    0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47814596275842))-π/2
    2×atan(11.9191453800029)-π/2
    2×1.48709372050598-π/2
    2.97418744101195-1.57079632675     		φ = 1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12928 KachelY 3460 -0.66267970 1.40339111 -37.968750 80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 12929 KachelY 3460 -0.66248795 1.40339111 -37.957764 80.408388
    Unten links KachelX 12928 KachelY + 1 3461 -0.66267970 1.40335916 -37.968750 80.406557
    Unten rechts KachelX + 1 12929 KachelY + 1 3461 -0.66248795 1.40335916 -37.957764 80.406557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40339111-1.40335916) × R
    3.19500000001138e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40339111-1.40335916) × R
    3.19500000001138e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66248795) × cos(1.40339111) × R
    0.000191749999999935 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 203.554911436719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66248795) × cos(1.40335916) × R
    0.000191749999999935 × 0.166655906860793 × 6371000     		du = 203.593397065421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40339111)-sin(1.40335916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.166655906860793)×R²
    abs(-0.66248795--0.66267970)×3.15032680079375e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15032680079375e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15032680079375e-05×40589641000000     		ar = 41438.2214321813m²