Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12921 / 3454
↖ ↑ ↗
← N 80.419365°
W 38.045654°		 ← 203.31 m → N 80.419365°
W 38.034668°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 80.417537°
W 38.045654°		 ← 203.35 m →
41 337 m²		 N 80.417537°
W 38.034668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394332885742188 y=0.105422973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394332885742188 × 215)
    floor (0.394332885742188 × 32768)
    floor (12921.5)     		tx = 12921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105422973632812 × 215)
    floor (0.105422973632812 × 32768)
    floor (3454.5)     		ty = 3454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12921 / 3454 ti = "15/12921/3454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12921/3454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12921 ÷ 215
    12921 ÷ 32768     		x = 0.394317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3454 ÷ 215
    3454 ÷ 32768     		y = 0.10540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.21136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66402193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10540771484375 × 2 - 1) × π
    0.7891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4792964483493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66402193} λ = -0.66402193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4792964483493))-π/2
    2×atan(11.9328660762365)-π/2
    2×1.48718951564532-π/2
    2.97437903129065-1.57079632675     		φ = 1.40358270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66402193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.045654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40358270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.419365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12921 KachelY 3454 -0.66402193 1.40358270 -38.045654 80.419365
    Oben rechts KachelX + 1 12922 KachelY 3454 -0.66383019 1.40358270 -38.034668 80.419365
    Unten links KachelX 12921 KachelY + 1 3455 -0.66402193 1.40355079 -38.045654 80.417537
    Unten rechts KachelX + 1 12922 KachelY + 1 3455 -0.66383019 1.40355079 -38.034668 80.417537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40358270-1.40355079) × R
    3.19100000001349e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40358270-1.40355079) × R
    3.19100000001349e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66402193--0.66383019) × cos(1.40358270) × R
    0.000191739999999996 × 0.16643548887972 × 6371000     		do = 203.313522203404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66402193--0.66383019) × cos(1.40355079) × R
    0.000191739999999996 × 0.166466953725323 × 6371000     		du = 203.351958889162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40358270)-sin(1.40355079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16643548887972-0.166466953725323)×R²
    abs(-0.66383019--0.66402193)×3.14648456029853e-05×R²
    0.000191739999999996×3.14648456029853e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.14648456029853e-05×40589641000000     		ar = 41337.2635244765m²