Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1292 / 765
↖ ↑ ↗
← N 81.113602°
W123.222656°		 ← 754.85 m → N 81.113602°
W123.178711°		 →
↑
755.09 m
↓
↑
755.09 m
↓
N 81.106812°
W123.222656°		 ← 755.42 m →
570 193 m²		 N 81.106812°
W123.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15777587890625 y=0.09344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15777587890625 × 213)
    floor (0.15777587890625 × 8192)
    floor (1292.5)     		tx = 1292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09344482421875 × 213)
    floor (0.09344482421875 × 8192)
    floor (765.5)     		ty = 765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1292 / 765 ti = "13/1292/765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1292/765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1292 ÷ 213
    1292 ÷ 8192     		x = 0.15771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 765 ÷ 213
    765 ÷ 8192     		y = 0.0933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    -0.6845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15064106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933837890625 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15064106} λ = -2.15064106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55484500215051))-π/2
    2×atan(12.8693047883593)-π/2
    2×1.49324787914883-π/2
    2.98649575829767-1.57079632675     		φ = 1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15064106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1292 KachelY 765 -2.15064106 1.41569943 -123.222656 81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 1293 KachelY 765 -2.14987407 1.41569943 -123.178711 81.113602
    Unten links KachelX 1292 KachelY + 1 766 -2.15064106 1.41558091 -123.222656 81.106812
    Unten rechts KachelX + 1 1293 KachelY + 1 766 -2.14987407 1.41558091 -123.178711 81.106812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41569943-1.41558091) × R
    0.000118520000000011 × 6371000     		dl = 755.090920000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41569943-1.41558091) × R
    0.000118520000000011 × 6371000     		dr = 755.090920000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15064106--2.14987407) × cos(1.41569943) × R
    0.000766989999999801 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 754.84512492464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15064106--2.14987407) × cos(1.41558091) × R
    0.000766989999999801 × 0.15459292998482 × 6371000     		du = 755.417315052066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41569943)-sin(1.41558091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.15459292998482)×R²
    abs(-2.14987407--2.15064106)×0.000117096267910038×R²
    0.000766989999999801×0.000117096267910038×6371000²
    0.000766989999999801×0.000117096267910038×40589641000000     		ar = 570192.728290532m²