Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1292 / 724
↖ ↑ ↗
← N 81.387650°
W123.222656°		 ← 731.74 m → N 81.387650°
W123.178711°		 →
↑
732.03 m
↓
↑
732.03 m
↓
N 81.381067°
W123.222656°		 ← 732.30 m →
535 861 m²		 N 81.381067°
W123.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15777587890625 y=0.08843994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15777587890625 × 213)
    floor (0.15777587890625 × 8192)
    floor (1292.5)     		tx = 1292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08843994140625 × 213)
    floor (0.08843994140625 × 8192)
    floor (724.5)     		ty = 724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1292 / 724 ti = "13/1292/724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1292/724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1292 ÷ 213
    1292 ÷ 8192     		x = 0.15771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 724 ÷ 213
    724 ÷ 8192     		y = 0.08837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    -0.6845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15064106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08837890625 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15064106} λ = -2.15064106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58629160830127))-π/2
    2×atan(13.2804311322778)-π/2
    2×1.49563939657716-π/2
    2.99127879315432-1.57079632675     		φ = 1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15064106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1292 KachelY 724 -2.15064106 1.42048247 -123.222656 81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 1293 KachelY 724 -2.14987407 1.42048247 -123.178711 81.387650
    Unten links KachelX 1292 KachelY + 1 725 -2.15064106 1.42036757 -123.222656 81.381067
    Unten rechts KachelX + 1 1293 KachelY + 1 725 -2.14987407 1.42036757 -123.178711 81.381067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42048247-1.42036757) × R
    0.000114900000000029 × 6371000     		dl = 732.027900000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42048247-1.42036757) × R
    0.000114900000000029 × 6371000     		dr = 732.027900000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15064106--2.14987407) × cos(1.42048247) × R
    0.000766989999999801 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 731.744833394841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15064106--2.14987407) × cos(1.42036757) × R
    0.000766989999999801 × 0.149862061043088 × 6371000     		du = 732.299955712431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42048247)-sin(1.42036757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149862061043088)×R²
    abs(-2.14987407--2.15064106)×0.00011360341345934×R²
    0.000766989999999801×0.00011360341345934×6371000²
    0.000766989999999801×0.00011360341345934×40589641000000     		ar = 535860.816826306m²