Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12917 / 12438
↖ ↑ ↗
← S 67.792641°
E103.820801°		 ← 923.44 m → S 67.792641°
E103.842773°		 →
↑
923.29 m
↓
↑
923.29 m
↓
S 67.800944°
E103.820801°		 ← 923.11 m →
852 444 m²		 S 67.800944°
E103.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788421630859375 y=0.759185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788421630859375 × 214)
    floor (0.788421630859375 × 16384)
    floor (12917.5)     		tx = 12917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759185791015625 × 214)
    floor (0.759185791015625 × 16384)
    floor (12438.5)     		ty = 12438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12917 / 12438 ti = "14/12917/12438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12917/12438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12917 ÷ 214
    12917 ÷ 16384     		x = 0.78839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12438 ÷ 214
    12438 ÷ 16384     		y = 0.7591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78839111328125 × 2 - 1) × π
    0.5767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.81201481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62832060629407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81201481} λ = 1.81201481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62832060629407))-π/2
    2×atan(0.196258893471521)-π/2
    2×0.193795767724963-π/2
    0.387591535449925-1.57079632675     		φ = -1.18320479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81201481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18320479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.792641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12917 KachelY 12438 1.81201481 -1.18320479 103.820801 -67.792641
    Oben rechts KachelX + 1 12918 KachelY 12438 1.81239830 -1.18320479 103.842773 -67.792641
    Unten links KachelX 12917 KachelY + 1 12439 1.81201481 -1.18334971 103.820801 -67.800944
    Unten rechts KachelX + 1 12918 KachelY + 1 12439 1.81239830 -1.18334971 103.842773 -67.800944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18320479--1.18334971) × R
    0.000144920000000104 × 6371000     		dl = 923.285320000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18320479--1.18334971) × R
    0.000144920000000104 × 6371000     		dr = 923.285320000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81201481-1.81239830) × cos(-1.18320479) × R
    0.000383489999999931 × 0.377959705160053 × 6371000     		do = 923.436741670915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81201481-1.81239830) × cos(-1.18334971) × R
    0.000383489999999931 × 0.377825531060666 × 6371000     		du = 923.108925526856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18320479)-sin(-1.18334971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377959705160053-0.377825531060666)×R²
    abs(1.81239830-1.81201481)×0.000134174099387541×R²
    0.000383489999999931×0.000134174099387541×6371000²
    0.000383489999999931×0.000134174099387541×40589641000000     		ar = 852444.255108686m²