Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12911 / 13679
↖ ↑ ↗
← N 28.468691°
W 38.155518°		 ← 1 073.92 m → N 28.468691°
W 38.144531°		 →
↑
1 073.96 m
↓
↑
1 073.96 m
↓
N 28.459033°
W 38.155518°		 ← 1 074.01 m →
1 153 395 m²		 N 28.459033°
W 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394027709960938 y=0.417465209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394027709960938 × 215)
    floor (0.394027709960938 × 32768)
    floor (12911.5)     		tx = 12911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417465209960938 × 215)
    floor (0.417465209960938 × 32768)
    floor (13679.5)     		ty = 13679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12911 / 13679 ti = "15/12911/13679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12911/13679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12911 ÷ 215
    12911 ÷ 32768     		x = 0.394012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13679 ÷ 215
    13679 ÷ 32768     		y = 0.417449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.21197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66593941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    0.16510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518677253889008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66593941} λ = -0.66593941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518677253889008))-π/2
    2×atan(1.67980422500404)-π/2
    2×1.03383436182722-π/2
    2.06766872365445-1.57079632675     		φ = 0.49687240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66593941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.155518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49687240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.468691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12911 KachelY 13679 -0.66593941 0.49687240 -38.155518 28.468691
    Oben rechts KachelX + 1 12912 KachelY 13679 -0.66574766 0.49687240 -38.144531 28.468691
    Unten links KachelX 12911 KachelY + 1 13680 -0.66593941 0.49670383 -38.155518 28.459033
    Unten rechts KachelX + 1 12912 KachelY + 1 13680 -0.66574766 0.49670383 -38.144531 28.459033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49687240-0.49670383) × R
    0.000168569999999979 × 6371000     		dl = 1073.95946999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49687240-0.49670383) × R
    0.000168569999999979 × 6371000     		dr = 1073.95946999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66593941--0.66574766) × cos(0.49687240) × R
    0.000191750000000046 × 0.879077718559408 × 6371000     		do = 1073.91584479288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66593941--0.66574766) × cos(0.49670383) × R
    0.000191750000000046 × 0.879158059759019 × 6371000     		du = 1074.01399275572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49687240)-sin(0.49670383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879077718559408-0.879158059759019)×R²
    abs(-0.66574766--0.66593941)×8.03411996109782e-05×R²
    0.000191750000000046×8.03411996109782e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.03411996109782e-05×40589641000000     		ar = 1153394.79769635m²