Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1291 / 726
↖ ↑ ↗
← N 81.374479°
W123.266601°		 ← 732.86 m → N 81.374479°
W123.222656°		 →
↑
733.11 m
↓
↑
733.11 m
↓
N 81.367886°
W123.266601°		 ← 733.41 m →
537 468 m²		 N 81.367886°
W123.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15765380859375 y=0.08868408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15765380859375 × 213)
    floor (0.15765380859375 × 8192)
    floor (1291.5)     		tx = 1291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08868408203125 × 213)
    floor (0.08868408203125 × 8192)
    floor (726.5)     		ty = 726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1291 / 726 ti = "13/1291/726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1291/726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1291 ÷ 213
    1291 ÷ 8192     		x = 0.1575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 726 ÷ 213
    726 ÷ 8192     		y = 0.088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15140805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088623046875 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15140805} λ = -2.15140805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58475762751343))-π/2
    2×atan(13.2600748231518)-π/2
    2×1.49552445380302-π/2
    2.99104890760603-1.57079632675     		φ = 1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15140805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.266601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1291 KachelY 726 -2.15140805 1.42025258 -123.266601 81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 1292 KachelY 726 -2.15064106 1.42025258 -123.222656 81.374479
    Unten links KachelX 1291 KachelY + 1 727 -2.15140805 1.42013751 -123.266601 81.367886
    Unten rechts KachelX + 1 1292 KachelY + 1 727 -2.15064106 1.42013751 -123.222656 81.367886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42025258-1.42013751) × R
    0.000115070000000106 × 6371000     		dl = 733.110970000675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42025258-1.42013751) × R
    0.000115070000000106 × 6371000     		dr = 733.110970000675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15140805--2.15064106) × cos(1.42025258) × R
    0.000766990000000245 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 732.855503172908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15140805--2.15064106) × cos(1.42013751) × R
    0.000766990000000245 × 0.150089518987898 × 6371000     		du = 733.411427433924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42025258)-sin(1.42013751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.150089518987898)×R²
    abs(-2.15064106--2.15140805)×0.000113767527759351×R²
    0.000766990000000245×0.000113767527759351×6371000²
    0.000766990000000245×0.000113767527759351×40589641000000     		ar = 537468.186482117m²